直角三角形

17．直角三角形（笔记）

一、直角三角形的性质：∠C=90°（背熟5个性质定理）

1．定理：直角三角形的两个锐角互余 ∠A+∠B=90°

2．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

3. 定理：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.（用来解决边的数量关系）

4. 定理：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.（用来证明一个角是30°）

5.勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即（直角三角形三条边的数量关系）

求：a=

b=

c=

二、直角三角形的判定：（背熟3个判定定理）

1. 定理：有一个角是90°的三角形是直角三角形

2．勾股定理逆定理：如果一个三角形的三边长a、b、c满足：，那么这个三角形是直角三角形

3．定理：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

三、直角三角形的其他性质：∠C=90°

1.直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边：h =

2．特殊直角三角形的三边比

短直∶长直∶斜边 = 直∶直∶斜=

3．直角三角形三条边的长度满足勾股数，以及满足勾股数的倍数（整数倍、小数倍、无理数倍…）

常见的勾股数：

（3， 4， 5）, （5，12，13） ,（6， 8，10），（7，24，25）, (8，15，17)，（ 9，12，15），

（ 9，40，41），(10，24，26)，(11，60，61)，(12，16，20)， (12，35，37)………..

4．射影定理:在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项。

∠ACB=90°

CD⊥AB

5．常用关系式：由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC

6．锐角三角函数

（1）锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切、都叫做∠A的锐角三角函数

（2）边角之间的关系：

sinα= ；cosα= ；tanα

（3）一些特殊角的三角函数值

三角函数

30°

45°

60°

sinα

cosα

tanα

1

三、典型题：

1．在函数（一次函数、反比例函数、二次函数）综合题中，讨论存在直角三角形或垂直，常用方法有三种：

（1）利用两条直角边的斜率：k1k2 = -1列式 （此时可用 k = ，提前一步写出k）

（2）先用两点间距离公式，写出三角形的三条边长度，再用勾股定理列方程，解方程

（3）利用相似三角形：通常存在或构造一线三直角的相似（或一线三直角的全等）

注意：如果是讨论存在直角三角形，通常分三种情况讨论：（三种情况即三个角分别是直角）

2．折叠 = 勾股定理列方程

3．利用直角三角形斜边中线 = 斜边一半，处理问题

4．利用特殊直角三角形的边角关系处理问题

5．旋转直角三角形做辅助线

注意：重点是背过直角三角形的5条性质定理和3条判定定理。（其他参考资料上的判定方法不能用作证明题）