何炅电视机前的观众朋友们大家好！
撒贝宁欢迎收看：男生女生请就位！
何炅今天这期节目，我们将和嘉宾们一起探索充分必要条件和全称，存在量词的奥秘！
所有嘉宾好耶！
观众们啊啊啊啊啊啊！
撒贝宁我们都知道命题的含义。命题是指用语言，符号，或式子表达的，可以判断真假的陈述句。可以说，命题是一种表达方式。
鞠婧祎我还记得，判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假命题。
何炅没错。命题一般可以被写成“若p，则q”的形式。其中，p被称为命题的条件，q被称为命题的结论。当命题为真时，也就意味着可以通过条件推理得出结论。这时，我们就说，由p可以推出q，记作p→q，并且说。p是q的充分条件，q是p的必要条件。
易烊千玺等等，q不是结论吗，怎么又变成条件了？
撒贝宁千玺同学的问题非常好！对于命题“若p，则q”来说，q确实是命题的结论。但是当该命题为真命题时，q成立是p成立必不可少的条件。p成立，q一定成立，但是q不成立，p一定不成立。总而言之，q是命题的结论，但也是条件的条件。
王俊凯好复杂呀，有点不理解。
何炅可以用生活中的例子进行理解。在立定跳远的时候，如果一个同学可以跳两米远，说明他一定可以跳到一米八。如果想跳到两米远，就得先跳到一米八以上。该同学跳到两米，说明他足以跳到一米八，而想跳到两米，至少要先跳到一米八。可以说，跳到两米是跳到一米八的充分条件，跳到一米八是跳到两米的必要条件。
赵露思也就是说，能跳到两米就足以跳到一米八，要跳到两米就至少必须先跳到一米八。充分条件足以满足必要条件，要满足充分条件必须先满足必要条件。
撒贝宁正解。
何炅如果“若p，则q”是假命题，那么条件p就不能推出结论q，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。
撒贝宁让我们看看下面几个例子吧：1.若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。2.若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。3.若四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。判断一下，这几个命题中的p是不是q的充分条件，q是不是p的必要条件呢？
肖战两组对角分别相等，是平行四边形的判定定理，由这个条件，一定可以推出四边形是平行四边形这条结论，所以①中的p是q的充分条件，q是p的必要条件。
王一博两个三角形的三边成比例，是两个三角形相似的判定定理，由这个条件，一定可以推出两个三角形相似这条结论，所以②中的p是q的充分条件，q是p的必要条件。
迪丽热巴对角线互相垂直是菱形的性质定理，所以由菱形这个条件，一定可以推出对角线互相垂直这条结论，所以③中的p是q的充分条件，q是p的必要条件。
何炅嘉宾们的回答非常棒！下面我们再来看看几个例子：1.若x²=1，则x=1。2.若a=b，则ac=bc。3.若x，y为无理数，则xy为无理数。判断一下，这几个命题中的p是不是q的充分条件，q是不是p的必要条件呢？
贺峻霖当x=-1时，x²=1，此时例子中的条件无法推出结论x=1，所以①中的p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。
丁程鑫当a=b时，无论c取何值，ac=bc都成立，条件必然可以推出结论，所以②中的p是q的充分条件，q是p的必要条件。
虞书欣当x=y=√2时，xy=2，虽然x和y都是无理数，但是xy是有理数，条件不能推出结论，所以③中的p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。
撒贝宁嘉宾们的回答非常棒！我们说p是q的充分条件，q是p的必要条件，但这并不意味着p只能推出q。对于给定的条件p，由p可以推出的结论q不是唯一的，对于给定的结论q，使q成立的条件p也不是唯一的。
宋雨琦可不可以这样理解：比如说给出一个条件：一个四边形是平行四边形，这个条件既可以推出这个四边形的两组对边分别相等，也可以推出这个四边形的两组对角分别相等。而四边形的两组对角分别相等和四边形的两组对边分别相等这两个结论同样可以分别作为条件，推出这个四边形是平行四边形的结论。此时四边形是平行四边形这个结论对应了两个条件。
何炅雨琦说的太好了！平行四边形的每一个判定定理都能给出“四边形是平行四边形”的充分条件，因为这些判定定理能够充分保证四边形是平行四边形。所以，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。而平行四边形的每一个性质定理都能给出“四边形是平行四边形”的必要条件，因为这些性质定理对“四边形是平行四边形”的成立是必要的。所以，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。
王源我注意到雨琦同学的理解中，命题的条件可以作为它逆命题的结论，命题的结论可以作为它逆命题的条件。
撒贝宁简单来说，将一个命题的条件和结论颠倒，就能形成这个命题的逆命题。
何炅如果一个命题“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”都为真命题，就记作p⇔q，即p是q的充要条件。
王俊凯按照这样的逻辑，如果一个命题为真但其逆命题为假，即“若p，则q”为真，“若q，则p”为假，那么p就是q的充分不必要条件。如果一个命题为假但其逆命题为真，即“若p，则q”为假，“若q，则p为真，”那么p就是q的必要不充分条件。
赵露思可以举例进一步说明，比如命题：若两个三角形全等，则两个三角形周长相等。由两个三角形全等一定可以推出两个三角形的周长相等，但是由两个三角形周长相等并不能推出两个三角形全等。所以在这个命题中，条件是结论的充分不必要条件。
鞠婧祎还有一个例子，命题：若四边形的对角线互相垂直，则四边形是菱形。由四边形的对角线互相垂直不能推出四边形是菱形，但由四边形是菱形可以推出四边形的对角线互相垂直。所以在这个命题中，条件是结论的必要不充分条件条件。
易烊千玺没错，图片中的风筝形对角线也互相垂直，但它不是菱形。
撒贝宁还有一个需要注意的知识点，就是命题会与其逆否命题同真假。
何炅下面我们再来说说全称量词和存在量词吧！
撒贝宁我们都知道，命题是可以判断真假的陈述句。有时，我们需要对命题中描述的事物进行范围限定，我们把这些限定词称为量词。
何炅短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。例如，对任意一个x∈Z，2x+1是整数，就是一个全称量词命题，可以写作：∀x∈Z，2x+1∈Z。全称量词命题“对于集合M中的任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为：∀x∈M，p（x）.
撒贝宁短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。例如：存在一个x∈R，使2x+1=3，就是一个存在量词命题，可以写作：∃x∈R，2x+1=3。存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为：∃x∈M，p（x）.
何炅全称量词命题和存在量词命题同样有真假之分，下面让我们来看看这几个例子吧：1.所有的素数都是奇数。2.对任意一个无理数x，x²也是无理数。3.有些平行四边形是菱形。4.有一个实数x，使x²+2x+3=0。请嘉宾们判断这些全称量词命题和存在量词命题的真假。
肖战2是素数，但2不是奇数，所以①中的全称量词命题为假。
王一博√2是无理数，但是√2²=2，2是有理数，所以②中的全称量词命题为假。
虞书欣菱形是一种特殊的平行四边形，可以理解为平行四边形的一个子集，所以③中的存在量词命题为真。
迪丽热巴根据判别式Δ=2²-4×3×1=-8，Δ＜0可得该方程无实数根，，所以④中的存在量词命题为假。
撒贝宁嘉宾们回答得非常好！
何炅刚才的例子中有三个假命题，如果我们能对它们进行否定，就可以得到一个新命题，而且这个新命题是真命题。那么，我们怎么对全称量词命题和存在量词命题进行否定呢？
王源对于命题“所有的素数都是奇数”来说，它的否定形式为“并非所有素数都是奇数”，也就是说存在一个素数不是奇数，从命题形式上看，这个全称量词命题的否定变成了存在量词命题，并且，命题的否定中会加入否定词。
撒贝宁没错，对一个全称量词命题进行否定，我们只需要把“所有的”，“任意一个”等词语换成“并非所有的”，“并非任意一个”。也就是说对于一个全称量词命题“∀x∈M，p(x)”,它的否定形式为“并非∀x∈M，p(x)”，也就是“∃x∈M，p(x)不成立”通常用符号“乛p(x)”表示p（x）不成立。
丁程鑫对于命题“有一个实数x，使x²+2x+3=0”来说，它的否定形式为“没有一个实数x，使x²+2x+3=0”，也就是说所有实数x都不能使使x²+2x+3=0成立，从命题形式上看，这存在量词命题的否定变成了全称量词命题，命题的否定中，同样加入了否定词。
何炅没错，对一个存在量词命题进行否定，我们只需要把“存在一个”，“至少有一个”，“有些”等词语换成“不存在一个”，“没有一个”。也就是说对于一个存在量词命题“∃x∈M，p（x）”，它的否定形式为“不存在x∈M，使p(x)成立”，也就是“∀x∈M，p（x）不成立”。
贺峻霖逻辑用语真的好严谨啊！
撒贝宁确实，掌握逻辑用语是学习数学的基础，今后的学习中，我们会大量用到这类语言。
宋雨琦看来真得好好消化今天的知识，不然以后录节目都费劲啊！
何炅今天的节目就到此结束了，我们一起了解了充分，必要条件和全称，存在量词的相关内容。想要了解更多精彩内容，敬请期待下一期的--男生女生请就位！我们下期再见！
观众们呜呜呜呜呜呜呜！
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