何炅电视机前的观众朋友们大家好！
撒贝宁欢迎收看：男生女生请就位！
何炅今天这期节目，我们将和嘉宾们一起探索集合及其计算的奥秘！
所有嘉宾好耶！
观众们啊啊啊啊啊
撒贝宁对于我们来说，集合其实并不陌生。因为集合存在于我们的生活的方方面面：一个班级可以看作一个集合，一个年级可以看作一个集合，所有的植物和动物可以看作一个集合，所有的自然数也可以看成一个集合。当我们想要研究一类事物或者数时，会把它们的个体称为元素，把元素组成的整体称为集合。
丁程鑫可不可以这样理解：当我们要研究1到10之间的偶数时，2、4、6、8这几个数字就是一个个元素，由它们构成的整体“1到10之间的偶数”就是一个集合。
何炅当然可以啊。要注意的是，集合有三个重要的性质，分别是：确定性，互异性，无序性。
宋雨琦确定性应该是指集合中的每一个元素必须是确定的。比如“较小的数”，“较高的人”就不能构成一个集合，因为“较小”和“较高”是一个相对的值，而不是一个具体的要求。
肖战互异性应该是指集合中的每一个元素都是不一样的，也就是每一个元素都不能重复出现。
王一博无序性应该是指即使调换集合中元素的顺序，也不会改变集合的本质，例如刚才所提到的“1到10之间的偶数”，即使调换数字的顺序，这个集合依然表示“1到10之间的偶数”。只要构成两个集合的元素一样，这两个集合就相等。
撒贝宁嘉宾们解释得非常好。为了书写方便，我们用大写拉丁字母“A,B,C……”表示集合，用小写拉丁字母“a,b,c……”表示集合中的元素。如果a是集合A的元素，就记作a∈A，如果a不是集合A的元素，就记作a∉A.
何炅一些常用的集合会有特殊名称，自然数集记作N，正整数集记作N+，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.
撒贝宁有时候，我们会把集合中的元素一一列举出来，并用大括号括起来，这种表示集合的方法叫做列举法。
王俊凯所以“1到10之间的偶数”用列举法表示应该写作｛2，4，6，8｝。使用列举法表示集合真的很方便。
虞书欣但是列举法只能表示元素较少的集合，如果集合中元素的数量特别多，甚至是无限的，又应该怎样描述集合呢？
何炅这个时候就要用到描述法。设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为｛x∈A丨P（x）｝.
贺峻霖如果用描述法表示集合x＜10，可以写作｛x∈R|x＜10，｝。描述法的格式可以看作范围+共同特征。
撒贝宁没错。补充一点，在集合｛x∈R|x＜10｝中，因为只有实数范围内的数才可以比较大小，所以x＜10这一条件默认了x是实数，“x∈R”可以省略不写，记作｛x|x＜10｝。像这样，当集合特点中默认了集合中元素所属的大范围，则竖线前的范围可以省略不写。
赵露思既然元素与集合之间存在属于和不属于的关系，那么集合与集合之间又存在什么样的关系呢？
何炅我们来看看下面这两个集合：｛1，2，3｝，｛1，2，3，4，5｝各位嘉宾能发现这两个集合之间有什么联系吗？
王源第一个集合中含有元素1，2，3，第二个集合中也含有元素1，2，3。
撒贝宁是的，对于两个集合A,B,如果A中的任何一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集，记作A⊆B，或B⊇A读作“A包含于B”和“B包含A”。
迪丽热巴如果两个集合相等，可以两个集看作两个集合互相包含吗？
何炅当然可以，当集合A＝B时，集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素。因此可以看作集合A，B相互包含。写作“A⊆B，A⊇B，A＝B”。以此类推，任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A。
何炅让我们再看看这三个集合：｛1，2，3｝，｛1，2，3，4，5｝，｛1，2，3，4，5，6｝，它们之间有什么关系呢？
鞠婧祎第一个集合包含于第二个集合，第二个集合包含于第三个集合，因此第一个集合包含于第三个集合。
撒贝宁是的，对于集合A，B，C。如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C。我们把这叫做集合的传递性。
何炅我们可以Venn图来表示这样的关系，数形结合看上去会更加直观。
丁程鑫我注意到，集合｛1，2，3，4，5｝中的元素4，5是集合｛1，2，3｝中没有的，也就是说这两个集合并不完全相等。
撒贝宁没错，如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们就称A为B的真子集，记作A⫋B，B⫌A，读作“A真包含于B”和“B真包含A”。
易烊千玺所以集合｛1，2，3｝是集合｛1，2，3，4，5｝的真子集。
肖战那么真包含和包含有什么关系呢？
迪丽热巴我觉得真包含的范围比包含更小，因为包含中有相等的情况，而真包含中没有。
王俊凯我很好奇，有没有不含任何元素的集合呢？
何炅当然有啊，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅，并规定空集是任何集合的子集。
王源可不可以认为每一个集合中都有一定的空间，没有被其他元素填满的空间就是空集，所以空集是所有非空集合的子集，而∅＝∅，所以空集也是它自己的子集。
撒贝宁王源同学理解得太好了！
贺峻霖什么时候我们会用到空集呢？
何炅在一个方程中，如果没有一个满足方程条件的根，则该方程根的集合为空集，比如说x²＝-1在实数范围内的根，可以写作｛x∈R|x²＝-1｝＝∅，当我们描述一种情况不存在时也会用到空集，比如世界上是否有一个大于3而小于1的实数，我们可以写作｛x∈R|x＜1，x＞3｝＝∅。
赵露思既然我们了解了集合的性质和集合之间的关系，我们可不可以像计算数字一样对集合进行计算呢？
撒贝宁当然是可以的啊！
何炅让我们来看看这三个集合：｛1，2，3｝，｛4，5｝，｛1，2，3，4，5｝，它们之间有什么关系呢？
丁程鑫第三个集合是前两个集合相合并的结果。
撒贝宁没错，由所有属于集合A和集合B的元素组成的集合，叫做A和B的并集，记作A∪B，读作A并B。
鞠婧祎那么，集合｛1，2，3｝，｛3，4，5｝，｛1，2，3，4，5｝之间的关系又是什么呢？
易烊千玺我觉得｛1，2，3｝∪｛3，4，5｝＝｛1，2，3，4，5｝。如果将前两个集合的元素全都写进一个大括号里，就可以得到：｛1，2，3，3，4，5｝，再根据集合的互异性删除多余的3，就可以得到｛1，2，3，4，5｝，｛1，2，3，4，5｝同样可以看作｛1，2，3｝与｛3，4，5｝合并的结果。
何炅我们可以用Venn图表示并集
鞠婧祎那么一个集合与它自身的并集是它自身吗？
撒贝宁是的，可以写作A∪A＝A
王一博一个非空集合与空集的并集应该也是它自身吧。
何炅是的，可以写作A∪∅＝A
迪丽热巴如果集合B包含于集合A，那么A是不是A和B的并集呢？
撒贝宁是的，可以写作B⊆A，B∪A＝A
何炅我们还可以用数轴表示并集
撒贝宁我们来看看这三个集合：｛1，2，3｝，｛3，4，5｝，｛3｝，它们之间有什么联系呢？
王俊凯第三个集合是前两个集合的共有部分。
何炅由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A和B的交集，记作A∩B，读作A交B。
撒贝宁我们可以用Venn图表示交集
虞书欣当A和B没有共同元素的时候，它们的交集不是空集吗？
撒贝宁是的，可以写作A∩B＝∅
贺峻霖A与空集的交集不也是空集吗？
何炅是的，可以写作A∩∅＝∅
肖战A与A的交集应该是它本身吧。
撒贝宁是的，可以写作A∩A＝A
王俊凯当B属于A时，A与B的交集不就是B吗？
何炅是的，可以写作B⊆A，A∩B=B
撒贝宁我们还可以用数轴表示交集。
何炅我们再来想一想，N+与R的关系是什么？
王源我知道，N+⊆R
撒贝宁如果一个集合中含有所研究问题中涉及的所有元素，就称这个集合为全集，记作U
何炅可以用Venn图表示为：
撒贝宁还有一个概念是补集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作CuA=｛x∈U，且x∉A｝，可以用Venn图表示为：
何炅还可以用数轴表示为：
撒贝宁今天的节目就到此结束了，我们一起了解了集合极其计算方法的性质与应用。想要了解更多精彩内容，敬请期待下一期的--男生女生请就位！我们下期再见！
观众们呜呜呜呜呜呜呜呜呜（欢呼）
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