何炅电视机前的观众朋友们大家好！
撒贝宁欢迎收看：男生女生请就位！
何炅今天这期节目，我们将和嘉宾们一起探索等式，不等式，基本不等式与一元二次方程中不等式的应用的奥秘！
所有嘉宾好耶！
观众们啊啊啊啊啊啊啊啊！
撒贝宁我们的日常生活中存在着许多的相等关系和不等关系，比如等于（=），大于（＞），小于（＜），不小于（大于或等于）（≥），不大于（小于或等于）（≤）。在数学中，相等关系用等式表达，不等关系用不等式表达。
王一博确实是这样，比如说我骑车上路的时候，经常看到“限速40km/h”着样的标牌。这个标牌的意思是速度不大于40km/h,用数学语言不等式表示，就是v≤40km/h.
易烊千玺又比如说买酸奶时，包装上写到脂肪f含量不少于2.5%，蛋白质含量p不少于2.3%，用数学语言不等式表示，就是“f≥2.5%”，“p≥2.3%”.
虞书欣数学问题中也存在许多不等关系，比如三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，将三角形的三条边记作a,b,c,则这个数学定理可以用不等式表示为a+b＞c，a-b＜c.
何炅嘉宾们说得很好，如果要用数形结合的思想探究不等式，可以画一个数轴，由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系。设a,b是两个实数，当a在b左边时，a小于b，即a＜b.当a在b右边时,a大于b，即a＞b.
撒贝宁关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实：1.如果a-b是正数，则a＞b 2.如果a-b是负数，则a＜b 3.如果a-b等于0，则a=b
丁程鑫为什么会是这样呢？
何炅我们之前了解过等式的性质：等号两端加或减相同的数，等号仍成立。其实，这个规则同样可以平移到不等式当中：不等号两端加或减相同的数，原不等号仍成立。
贺峻霖可不可以这样理解，根据数形结合的思想，不等号两端同时加或减相同的数，就相当于数轴上两个不重合的点同时向左或向右平移相同的距离，两个点的相对位置关系和间距都不变，原不等关系自然也不变。
鞠婧祎我知道了，可以将a-b＞0转化为a-b+b＞0+b，即a＞b,可以将a-b＜0转化为a-b+b＜0+b,即a＜0，将a-b=0转化为a-b+b=0+b,即a=b.
撒贝宁没错，就是这样！
丁程鑫太好了，我终于理解了！
何炅现在我们掌握了一个比较实数大小的好方法--作差法。这个方法可以将比较两个实数的大小转化为比较它们的差和0点大小。
撒贝宁下面让我们来实践一下吧！请嘉宾们思考：（x+2）（x+3)和（x+1）(x+4)谁更大呢？
肖战我们可以先把两个式子拆开：（x+2）(x+3)=x²+5x+6, (x+1)(x+4)=x²+5x+4
迪丽热巴然后再将两个式子相减，x²+5x+6-(x²+5x+4)=2，2是正数，所以（x+2）（x+3）＞（x+1）（x+4）
何炅两位嘉宾的思路很正确！
王源嘿，我刚才注意到，在推导实数大小比较的基本事实的时候，我们把等式的一个性质平移到了不等式中，是不是还有很多等式的性质可以平移到不等式中呢？
撒贝宁王源同学的观察十分敏锐，他的思路也是对的。的确还有很多等式的性质可以平移到不等式中。
何炅1.对称性，如果a=b，则b=a,同理，如果a＞b，则b＜a
撒贝宁2..传递性，如果a=b，b=c，则a=b=c,同理，如果a＞b，b＞c，则a＞b＞c
宋雨琦按照这样的逻辑，还可以列出一下三点：3.可加可减性，如果a=b，则a±c=b±c，同理，如果a＞b，则a±c＞b±c.4.可乘性，如果a=b，则ac=bc，同理，如果a＞b,当c＞0时，则ac＞bc，当c＜0时，则ac＜bc，注意，c≠0,否则ac必定等于bc。5.如果a=b，c≠0，那么a/c=b/c，同理，如果a＞b,c≠0，当c＞0时，则a/c＞b/c，当c＜0时，则a/c＜b/c.
易烊千玺即使把以上“的大于号都换成小于号（关于c的不等式除外），这些定理依然成立。
王俊凯我觉得，还可以再补充两点：1.如果a＞b＞0，则1/a＞1/b,2.如果a＜b＜0,则1/a＜1/b
何炅三位嘉宾太棒啦！
观众们哇噢！
撒贝宁再给嘉宾们分享一个有趣的小问题吧！请嘉宾们思考：已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添加m克糖（m＞0）（假设全部溶解），糖水变甜了，这是为什么呢？
赵露思糖与糖水的比可以记作a/b，添加m克糖之后，糖与糖水的比可以记作（a+m）/（b+m）
丁程鑫然后再将两个式子通分，得到b（a+m）/b（b+m）和a（b+m）/b(b+m)
贺峻霖再将这两个式子相减，所得的最终结果为（a-b）m/b(b+m)，因为b和m都是正数，所以b（b+m）必定大于0，而因为b＞a，所以a＜b,a-b＜0 ,(a-b)m＜0，即（a-b）m/b(b+m)＜0,所以a/b＜(a+m)/(b+m)，添加m克糖之后糖与糖水的比变大了，所以糖水自然就更甜了。
何炅嘉宾们分析得真好，我们将推导出的结果a/b＜（a+m）/（b+m）称为糖水不等式。
所有嘉宾真是个恰当的名字！
撒贝宁接下来我们一起回顾一下赵爽弦图吧！
虞书欣噢，我我记得勾股定理就是用这张图推导的！大正方形的面积等于四个三角形的面积之和加上小正方形的面积。也就是：c²=4(ab/2)+(a-b)²，化简可得a²+b²=c²
何炅没错，但是嘉宾们有没有发现，这张图中存在一个不等关系，大正方形的面积总是大于或等于四个三角形的的面积之和。
王俊凯为什么还有个等于呢？
易烊千玺当四个三角形为全等的等腰直角三角形时，中间的小正方形缩成一个点，这时四个三角形的面积之和等于大正方形的面积，我们可以把这个规律记作a²+b²≥4（ab/2）
所有嘉宾真的是这样！
撒贝宁千玺同学说得很对。将千玺同学刚才提出的式子化简，就可以得到：a²+b²≥2ab，我们把这个不等式称为重要不等式。
宋雨琦并且，只有在a与b相等的时候，这个“≥”号才取等于。所以当且仅当a=b时，“=”成立。
王源是不是对于任意一个实数而言，重要不等式都成立呢？
肖战我觉得应该是的。如果“≥”号两端分别减去2ab,就会得到：a²-2ab+b²≥0，即(a-b)²≥0，对于任意的a-b，它的平方都大于或等于0，当且仅当a=b时，等号成立。
何炅就是这样，我们可以将这个结论写为：∀a,b∈R，a²+b²≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立。
撒贝宁请嘉宾们思考：既然重要不等式对于所有的实数都成立，也就意味着a,b两个实数可以被任意的实数替换，那么，我们可不可以分别用√a,√b替换这个式子中的a,b呢？
所有嘉宾当然可以！
何炅所以我们就得到了这样一条公式：∀a,b∈N+,a+b≥2√ab,即(a+b)/2≥√ab，当且仅当a=b时，等号成立。我们把这条公式称为基本不等式。其中，（a+b）/2是a,b的算术平均数，√ab是a,b的调和平均数。
赵露思为什么要把R改成N+呢？
撒贝宁如果，a,b都是负数，那么（a+b/2）必定小于0，√ab必定大于0,（a+b/2）怎么可能会大于√ab呢？
所有嘉宾原来如此！
鞠婧祎那么，我们可不可以直接利用不等式的性质推导基本不等式呢？
王一博我觉得可以。如果要证明①（a+b）/2≥√ab,只需证明②2√ab≤(a+b)，要证②，只需证③2√ab-a-b≤0,要证③，只需要证④-（√a-√b）²≤0，即⑤（√a-√b)²≥0，因为⑤恒成立，所以基本不等式成立。只要把这个过程倒过来，就可以推导出基本不等式了。
何炅一博同学刚才使用的方法被称为分析法，从结果反推证明过程，可以使许多证明的难度大大下降。所以数学定理的证明经常会用到这个方法。
撒贝宁学习了基本不等式，我们可以推导出许多式子的范围。下面请嘉宾们思考：已知x＞0，那么x+1/x的最小值是多少呢？
迪丽热巴x＞0,说明1/x也大于0，这两个数满足基本不等式的使用条件。然后我们可以把这两个数代入基本不等式，得到：(x+1/x)/2≥√x·1/x，即x+1/x≥1，当且仅当x=1/x时，等号成立，也就是x=1,再将不等号两端的数分别乘2，就可以得到x+1/x≥2，x+1/x的最小值是2
丁程鑫我觉得，求x＞0,x+1/x的最小值，可以看成求对勾函数y=x+1/x正半部分顶点的纵坐标值。
何炅程鑫同学说的对。其实，对于任意的对钩函数：y=ax+b/x,其正半部分的顶点的纵坐标值都是2√ab
贺峻霖我有一个奇妙的想法，如果把基本不等式中的a,b换成1/a,1/b，就会得到（1/a）+（1/b）≥2√（1/a）（1/b），将式子的两端各自写成倒数，就能得到1/[(1/a)+(1/b)]≤(√ab)/2，即2/[(1/a)+(1/b)]≤√ab，当且仅当a＞0,b＞0,a=b时,等号成立。
撒贝宁在峻霖同学推导出的公式2/[（1/a)+(1/b)]≤√ab中，2/[(1/a)+(1/b)]被称为a,b的调和平均数。
虞书欣我也有一个奇妙的想法，既然0≤(a+b)/2,那么0≤[(a+b)/2],即0≤(a²-2ab+b²)/4,不等式的左右两边分别加上a²+2ab+b²,得到(a²+2ab+b²)/4≤(2a²+2b²)/4,即(a+b)²/4≤(a²+b²)/2,最后得到公式(a+b)/2≤√(a²+b²)/√2
何炅在书欣同学推导的公式（a+b）/2≤√(a²+b²)/√2中，√(a²+b²)/√2被称为a,b的平方均值。
宋雨琦我们是否可以将刚才推导出来的两条公式和基本不等式相结合，得到一条长的不等式：2/[(1/a)+(1/b)]≤√ab≤(a+b)/2≤√（a²+b²）/√2
撒贝宁当然可以，我们把这条不等式称为均值不等式。
何炅经过刚才的讨论与交流，我们已经了解了等式和不等式的相关知识点。那么，我们可以用这些知识来解决什么问题呢？
鞠婧祎我觉得，这些知识在解决一元二次方程和一元二次函数相关的问题时非常有用。
王俊凯没错，我们都知道一元二次方程的判别式△=b²-4ac，当△＞0时，方程有两个不等实数根，当△=0时，方程有一个实数根，当△＜0时，方程没有实数根。
王源还有，在二次函数中，若抛物线有两个零点x1,x2，则△＞0，函数值大于0的解集为｛x|x＜x1或x＞x2｝，函数值小于0的解集为｛x|x1＜x＜x2｝。若抛物线有一个零点，则△=0，函数值大于0的解集为｛x|x≠-b/2a｝，函数值小于0点解集为∅，若抛物线没有零点，则△＜0，函数值大于0的解集为R，函数值小于0点解集为∅。
撒贝宁没错，就是这样。现在请嘉宾们思考一个问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉，若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域面积要大于20m²，则这个矩形的边长为多少米？
易烊千玺我们可以先设矩形的宽为x米,长为(12-x)米。
王一博然后将它们相乘得到面积（12-x）x＞20，且其中0＜x＜12
赵露思将公式展开，得到x²-12x+20＜0
肖战最终求出一元二次不等式的解集为2＜x＜10，且该结果满足条件0＜x＜12
何炅嘉宾们的思路非常清晰！
撒贝宁今天的节目就到此结束了，我们一起了解了等式，不等式，基本不等式和不等式在一元二次方程中的应用的相关内容。想要了解更多精彩内容，敬请期待下一期的--男生女生请就位！我们下期再见！
观众们呜呜呜呜呜呜呜
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