行列式

高等代数

3.1线性方程组(复数域上)和行列式

方程组的解：Xn=Dn/D(Dn的话n列被b1、b2…bn替换)

3.2排列

定理3.2.1：设i1i2⋯in和 j1j2⋯jn是几个数码的任意两个排列.那么总可以通过系列对换由 i1i2⋯in得出 j1j2⋯jn.

定理3.2.2：每一个对换都改变排列的奇偶性

定理3.2.3：n≥2时，n个数码的奇排列与偶排列的个数相等，各为 n ！/2

3.3 n阶行列式

命题3.3.1 行列式与它的转置行列式相等.

命题3.3.2 交换一个行列式的两行(或两列)，行列式改变符号.

推论：若行列式两行相同 则行列式为0 .

命题3.3.3：把行列式的某一行(列)的所有元素同乘常数k等于以k数乘这个行列式 。

推论3.3.2 一个行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。

推论3.3.3 如果一个行列式中有一行(列)的元素全部是零，那么这个行列式等于0。

推论3.3.4 如果一个行列式有两行(列)的对应元素成比例，那么这个行列式等于0.

命题3.3.4 设行列式D的第i行的所有元素都可以表示成两项之和

命题3.3.5 把行列式的某一行(列）的元素乘以同一数后，加到另一行(列）的对应元素，行列式不变

3.4 子式和代数余子式

行列式的依行依列展开

定义1 在一个n阶行列式D中任意取定k行和k列.位这些行列相交处的元素所构成的k阶行列式叫作行列式D的个k阶子式.

定义2 n(n>1) 阶行列式的某一元素aᵢⱼ的余子式 Mᵢⱼ 指的是在D中划去aᵢⱼ 所在的行和列后所余下的n-1阶子式.

定义3 n阶行列式D的元素aᵢⱼ 的余子式. ᵢⱼaᵢⱼ ᵢⱼMᵢⱼ 附以符号(−1)ⁱ⁺ʲ 后，叫作元素 aᵢⱼ 的代数余子式.

aᵢⱼ 元素a ᵢⱼ的代数余子式用符号 Aᵢⱼ 来表示：

Aᵢⱼ=(−1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ.

定理 3.4.1n阶行列式中，第i行(或第j列)的元素除a ᵢⱼ外都是零，那么这个行列式 等于 aᵢⱼ

 与它的代数余子式 Aᵢⱼ的乘积：

D=aᵢⱼAᵢⱼ.

定理 3.4.2 行列式 D等于它任意一行(列)的所有元素与它们的对应代数余子式的乘积的和。

定理 3.4.3 行列式某一行(列）元素与另一行(列）对应元素代数余子式的乘积之和等于零

★计算n阶行列式的方法：

1.Th.3.4.1

2 .递推法

3.n阶范德蒙行列式

3.5 克拉默法则

同3.1

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