特征值
线性代数中的概念
本征值 一般指本词条
特征值，是线性代数中的一个重要概念，是指设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。
中文名
特征值
外文名
Eigen value
所属学科
数学
提出
希尔伯特
出现时间
1904年
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线性代数的本质第十章：特征向量与特征值
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线性代数的本质：特征向量与特征值
简介定义计算方法基本应用更多应用TA说
简介
特征值是指设
是n阶方阵，如果存在数
和非零n维列向量
，使得
成立，则称
是
的一个特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵
的属于（对应于）特征值
的特征向量或本征向量，简称
的特征向量或
的本征向量。
定义
基本定义
设
为n阶矩阵，若存在常数
及 n维非零向量
，使得
，则称
是矩阵
的特征值，
是
属于特征值
的特征向量。[1]
的所有特征值的全体，叫做
的谱，记为
.
广义特征值
如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：
其中
和
为矩阵。其广义特征值（第二种意义）
可以通过求解方程
，得到
（其中
即行列式）构成形如
的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。
若
可逆，则原关系式可以写作
，也即标准的特征值问题。当
为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。
如果A和B是实对称矩阵，则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为
矩阵未必是对称的。
计算方法
求n阶矩阵
的特征值的基本方法：
根据定义可改写为关系式
，
为单位矩阵（其形式为主对角线元素为
，其余元素乘以-1）。要求向量
具有非零解，即求齐次线性方程组
有非零解的值
。即要求行列式
。 解此行列式获得的
值即为矩阵A的特征值。将此值回代入原式求得相应的
，即为输入这个行列式的特征向量。
求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式；
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：
的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是
（其中是不全为零的任意实数）。
[注]：特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。
基本应用
求特征向量
设
为n阶矩阵，根据关系式
，可写出
，继而写出特征多项式
，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值
代入原特征多项式，求解方程
，所求解向量
就是对应的特征值
的特征向量。
判断相似矩阵的必要条件
设有n阶矩阵
和
，若
和
相似（
），则有：
1、
的特征值与
的特征值相同——
，特别地，
，
为
的对角矩阵；
2、
的特征多项式与
的特征多项式相同——
；
3、
的迹等于
的迹——
（或
），即主对角线上元素的和；
4、
的行列式值等于
的行列式值——
；
5、
的秩等于
的秩——
。[1]
因而A与B的特征值是否相同是判断
与
是否相似的根本依据。
判断矩阵可对角化的充要条件
矩阵可对角化有两个充要条件：1、矩阵有n个不同的特征向量；2、特征向量重根的重数等于基础解系的个数。对于第二个充要条件，则需要出现二重以上的重特征值可验证（一重相当于没有重根）。[1]
相似对角化
若矩阵
可对角化，则其对角矩阵Λ的主对角线元素全部为
的特征值，其余元素全部为0。（一个矩阵的对角阵不唯一，其特征值可以换序，但都存在由对应特征向量顺序组成的可逆矩阵
使
）
更多应用
量子力学：
设
是向量空间的一个线性变换，如果空间中某一非零向量通过
变换后所得到的向量和
仅差一个常数因子，即
，则称
为
的特征值，
称为
的属于特征值
的特征向量或特征矢量(eigenvector)。如在求解薛定谔波动方程时，在波函数满足单值、有限、连续性和归一化条件下，势场中运动粒子的总能量(正)所必须取的特定值，这些值就是正的本征值。
奇异矩阵特征值
设
是n阶方阵，
是单位矩阵， 如果存在一个数
使得
是奇异矩阵（即不可逆矩阵， 亦即行列式为零）， 那么
称为
的特征值。
在
变换的作用下，向量
仅仅在尺度上变为原来的
倍。称
是
的一个特征向量，
是对应的特征值（本征值），是（实验中）能测得出来的量，与之对应在量子力学理论中，很多量并不能得以测量，当然，其他理论领域也有这一现象。
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