若尔当标准型是由若干个主对角线为特征值，下方（或上方）次对角线全为1，其余全为0的若尔当块按对角排列组成的准对角矩阵。不是每个n阶矩阵通过初等变换都能化为对角矩阵，但每个n阶复数矩阵A通过初等变换都能化为若尔当标准型，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序不同外是被矩阵A唯一确定的，它称为矩阵A的若尔当标准型。
中文名
若尔当标准型
外文名
Jordan standard form
应用学科
线性代数
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若尔当标准型简介
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「麻省理工学院」人工智能数学基础-相似矩阵和若尔当标准型
定义实例理论推导与例子TA说
定义
若尔当块
形式为
的矩阵称为若尔当块（其中
为复数）。即若当块矩阵对角线上为相同的复数
，下方（或上方）次对角线上全为1，其余元素全为0。
若尔当标准型
由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当标准型，其一般形状为
，其中
，并且
中有一些可以相等。[1]
实例
若尔当块实例
例如
，
，
都是若尔当块。
若尔当标准型实例
例如
是一个若尔当标准型矩阵。其由
，
，
等三个若尔当块组成。
理论推导与例子
一般采用初等因子理论来完成若尔当标准型的理论推导，其具体推导过程参见王萼芳《高等代数》346-349页。[1]这里我们采用一个具体的例子来说明若尔当标准型的计算过程。
例：求矩阵
的若尔当标准型。
解：首先求
的初等因子：
。
因此，A的初等因子是
，A的若尔当标准型是Jordan标准型
数学术语
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审阅专家 胡启洲
每个n阶的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序是被矩阵A唯一确定的，它称为矩阵A的若尔当标准型。首先，Jordan标准型由主对角线为特征值，主对角线上方相邻斜对角线为1的Jordan块按对角排列组成的矩阵称为Jordan形矩阵，而主对角线上的小块方阵Ji称为Jordan块；其次，每个n阶的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序是被矩阵A唯一确定的，它成为矩阵A的若尔当标准型。
中文名
Jordan标准型
外文名
Jordan standard form
特点1
主对角线上元素为特征值
特点2
主对角线上方相邻斜对角线为1
工具
初等因子理论
定义实例相关定理TA说
定义
对任一
阶矩阵
，必存在
阶可逆阵
，使
，其中每一个对角块都是Jordan块：
，即对角线上同为
，
的上面都有一个1，其余元素都是0，
是
阶方阵。因此
中所有
都是矩阵
的特征值，
。进一步，若不计各个Jordan块
的排序，
是由
唯一确定的，也就是说，
的Jordan块标准型，在不计Jordan块次序的前提下，是唯一确定的。我们称
称为Jordan块。[1]
每个n阶的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序是被矩阵A唯一确定的，它成为矩阵A的若尔当标准型。[2]
实例
Jordan阵
例如：
，
，
，
，
。[1]
非Jordan阵
，
，
。[1]
相关定理
定理1
设
是复数域上的n维线性空间上
的线性变换.，在
中必定存在一组基，使
在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序是被
唯一决定的。[2]
定理2
复数矩阵
与对角矩阵相似的充分必要条件是，
的初等因子全为一次的。[2]
定理3
复数矩阵
与对角矩阵相似的充分必要条件是，
的不变因子都没有重根。[2]
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