构造（四）：[冯•诺依曼宇宙v]
V_λ，若λ=a+1，则V_λ=P(V_a)(幂集)，若λ为极限序数，则V_λ=∪_k＜λV_k，∪_k V_k，k能够遍历所有序数。事实上，冯·诺依曼宇宙就是一个不断取幂集的过程，V_0={}，V_0是空集，空集就是一个没有任何元素的集合，{}的子集是{}，而V_1是空集的幂集就{{}}，V_2是V_1的幂集，也就是{{}，{{}}}，V_3……以此类推，到后面就很多了，我们假如说V_0的基数是0，也就是空集，那么0的幂集V_1的基数就是2^0=1，V_2的基数=2^V_1=2，V_3的基数=2^V_2=4，V_4的基数=2^V_3=16，V_5的基数=2^V_4=65536……，冯·诺依曼宇宙非常庞大，庞大到是一个真类，可以片面理解为“无所不包”在数学中的体现，冯·诺依曼宇宙或许有对应的基数，但这是无法证明的。以上所说的是冯·诺依曼宇宙，在这冯·诺依曼宇宙不等于广义的集合宇宙，因为冯·诺依曼宇宙并不能包含性质强化后的大基数，这些性质强化后的大基数太过强大，因此戳破了冯·诺依曼宇宙这个“袋子”的束缚，而在这里我们还有广义的集合宇宙，在这里的广义集合宇宙可以包含所有基数的性质，无论性质有多强，在这里的广义集合宇宙都可以进行完美的包含，哪怕大基数的性质经过强化，所蕴含的性质荒谬的强大，同时还可以永无止境的扩张，这里的广义集合宇宙都可以进行完美的包含，哪怕有些存在真正超越了所有基数，已经不属于任何基数，但都在广义集合宇宙的范畴内，广义的集合宇宙是真正的超越一切大基数性质，包含一切性质的完美体现，广义集合宇宙本身也包含所有扩张，类似于“力迫扩张”的扩张法在广义集合宇宙本就可找到，类似于这种的扩张，又或者更强的扩张对于广义集合宇宙来说都是无效的
（这里再说一次）
冯·诺依曼宇宙V
V₀=∅
V＿α+1=P(V＿α)
若λ为极限序数，
则V_λ=∪_k＜λV_k，
V=∪_k V_k，
k跑遍所有序数
令ord为所有序数的类
则V=∪_k∈ord V_k
同时冯·诺依曼宇宙V也可以包裹任何大小的内模型所有二者关系为：
终极数学宇宙L⊆冯·诺依曼宇宙V
其中冯·诺依曼宇宙V身为集合论最高的理想外模型，它可以包含一切大基数而且完美的包含兼容大基数所有的性质，而且可以将不同的两个大基数相互结合创造出远超之前的大基数，但是我们无论如果都无法让这些大基数加强到可以超脱出冯·诺依曼宇宙V的绝对范围的量级，因为冯·诺依曼宇宙V其本身就是包含一系列大基数和理论的集合，其他的大基数亦或者集合无论如何扩展最终都会被最理想的最高外模型冯·诺依曼宇宙V所包含在内。
在冯·诺依曼宇宙V之后还有
可构造宇宙V=L：
定义Def()为一个包含所有X子集的集合。一个X的子集x位于Def(X)当且仅当存在一个一阶逻辑公式φ和u₀,u₁,u₂,……∈X使得
x={y∈X :φˣ[y,u₀,u₁,u₂,……]
然后：
L₀=∅
L₁=Def(L1)={∅}=1
Ln+1=Def(Ln)=n
Lω=∪＿k＜ωLω
Lλ=∪＿k＜λλis a limit ordinal
ג是极限序数
L=∪＿k Lk，k跑遍所有序数
遗传序数可定义宇宙HODs：
HOD⁰=V
HODⁿ⁺¹=HODᴴᴼᴰ^ⁿ
HOD^ω=∩＿n＜ωHODⁿ
H⁰=V
H^α+1=HODᴴ^ᵃ
HOD^η=∩α＜ηHOD^α
对所有HODs的脱殊扩张
gHOD=∩HOD^V[G]
或许还有：
序数宇宙V=ON
良序宇宙V=WO
良基宇宙V=WF
于是可能：
V=L=ON=WO=WF=HOD=Ord=终极L=…………
脱殊扩张V(V[G])：
脱殊扩张说的是包含V可定义的偏序集P，P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G，然后通过把G加到V中来产生一个新的结构，V的脱殊扩张V[G]作为一个ZFC的模型。
P-name宇宙V
令P为一个拥有
rank ( P )=r＞ω假设P-names通过一个flat pairing function来构造。那么对于任意的V上的G⊆P-generic以及对于任意的a≥r×w有V[G]ₐ=Vₐ[G]
令f为一个固定的的flatpairing function ;再递归地构造一个宇宙：
V₀ᴾ=∅
Vλᴾ=∪＿α＜גVαᴾ
Vα+1ᴾ=P(Vαᴾ×P)
Vᴾ=∪＿α∈Ord Vαᴾ
宇宙V=终极L：
V=终极L的前置条件：
一个内模型是终极-L至少要见证一个超紧致基数。
一个内模型是终极-L也可以至少见证超幂公理UA+地面公理GA+存在一个最小强紧致基数成立。
一个内模型是终极-L必须是基于策略分支假设SBH。
V=终极-L是一个多元一阶算术集合论。
存在V=终极-L的有限公理化。
存在真类多的Eη基数并且每一个Eη基数都是超紧致基数的极限。
对于每一个超紧致基数的极限基数λ, ADλ成立。
伊卡洛斯基数之下的每一个≥I0基数的真类初等嵌入具有三歧性。
如果V[G]是V的脱殊集合扩张并且V在V[G]的ω−序列下不封闭那么V[G]≠终极-L并且V[G]中普遍分区公理不成立。
见证普遍分区公理成立。
见证强普遍分区公理成立。
终极L是一个典范内模型，并见证地面公理Ground Axiom成立。
V=终极L的直接推论：
见证最大基数伊卡洛斯的存在性。
见证真类多的伍丁基数
终极L是最大的内模型。
见证能够和选择公理兼容的最大的类- ADR公理，并且θ是正则的。
拥有最大的证明论序数。（即使序数分析目前远未到ZFC的水平）
见证能够和选择公理兼容的最强的实数正则性质断言
见证Ω猜想成立
见证每一个集合都是遗传序数可定义的，HOD猜想成立。
见证ZF+Reinhardt不一致。
存在非平凡初等嵌入j:Lλ(H(λ+))→Lλ(H(λ+)).
V是最小的脱殊复宇宙。
见证广义连续统假设成立，并且ω₁上有一个均匀预饱和理想。见证正常力迫公理成立。
存在包含武丁基数的真类。进一步地，对于每一个rank-existential语句φ若φ在V中成立那么存在一个universally Baire集AR使得有
HODᴸᴸ⁽ᴬ‘ᴿ⁾∩V＿Θ⊨φ
其中Θ=Θᴸ⁽ᴬ‘ᴿ⁾(A, R).(V=终极L)
绝对无穷Ω：
理想的绝对无穷可以看作宇宙V的基数
在新基础集合论Nf中对绝对无穷，施加幂集反而会让他从绝对无穷中跌落
不要与序数中的第一不可序列数搞混
关于绝对无限有两个的性质：
反射原理：Ω的所有性质必与其它超限数所共享。即Ω把它自己的性质向下反射到超限数上。
假设Ω具有独特的性质p，而其它无限集都不具有这个性质。则我们可用性质p对Ω做唯一地描述，这样一来，Ω就不是绝对的和不可定义的了。因此对Ω具有的任一性质至少有一个别的超限数也具有；进一步推理Ω的任一性质必为无限多个超限数共享，否则仍可将Ω定义为拥有这一性质的最大无限。所以假设不成立。不可达性：Ω不能被小于它的数构造出来。即Ω是不能从下面达到的。
推理过程与上面类似。假设Ω能被某个小于它的超限数构造出来，我们便可凭此构造对Ω作出定义。这破坏了Ω的不可定义性，所以Ω不可被小于它的数构造出来。因此我们说Ω是不能从下面达到的，或说它是不可达的。
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