番外3

构造（三）：……

可测基数

为了定义这个概念，人们在基数κ上或更一般地在任何集合上引入了一个二值度量。对于基数κ，它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集，使得κ本身很大，∅并且所有单例{A}，A∈κ很小，小集的

补集很大，并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。

事实证明，具有二值测度的不可数基数是无法从ZFC证明其存在的大基数。

形式上，可测基数是不可数基数κ，使得在κ的幂集上存在κ加性、非平凡、0-1值测度。（这里术语k-additive意味着，对于任何序列Aα，α＜λ的基数λ＜κ，Aα是成对相交的小于κ的序数集，Aα的并集的度量等于个人Aα的措施。)为了

强基数：

如果λ是任何序数，κ是λ-strong意味着κ是基数并且存在从宇宙V到具有临界点κ和

Vλ⊆M

也就是说，M在初始段上与V一致。那么κ是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。

伍丁基数：

【构造】：

f :λ→λ

存在一个基数κ＜λ和{f(β)|β＜κ}和基本嵌入j : V→M

超强基数：

构造：当且仅当存在基本嵌入j ：V→M从V到具有临界点κ和V_j(κ)⊆M

类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)⊆M 。Akihiro

Kanamori已经表明，对于每个n＞0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge基数的一致性强度。

强紧致基数

当且仅当每个κ-完全滤波器都可以扩展为κ-完全超滤器时，基数κ是强紧凑的。

强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数κ的逻辑是通过要求每个运算符的操作数数量小于κ来定义的；那么κ是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于κ的某个子集合中得出。

强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与ZFC一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。

强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。

可扩展性是强紧凑性的二阶类比。

超紧致基数

如果M⊆M，则称κ为λ超紧基数；如果对任意为λ≥κ，κ为λ超紧基数，则称k为超紧基数。

若κ是超紧基数，则存在κ个小于k的超强基数。

假设N是一个ZFC的模型,δ是一个超紧基数, 如果对任意λ＞δ, 存在Pδ(λ) 一个δ-完全的正则精良超滤U满足

伊卡诺斯基数：存在一个L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)。

公理I3~I0

：I3：存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入。

I2：V存在一个非平凡基本嵌入到包含Vλ的传递类M，λ为临界点上方的第一个不动点。

I1：Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入。

I0：存在L(Vλ+1) 的非平凡基本嵌入，其临界点＜λ公理。

莱因哈特基数

莱因哈特基数是非平凡基本嵌入的临界点

j : V→V的V进入自身。

这个定义明确地引用了适当的类j.在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j ：V→“V.

还有其他已知不一致的莱因哈特基数公式。一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定伯克利基数

伯克利基数

伯克利基数基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数κ，具有以下性质：

对于包含κ和α＜κ的每个传递集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中α＜临界点＜κ. Berkeley基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。

作为伯克利基数的弱化是，对于Vκ上的每个二元关系R，都有（Vκ，R)的非平凡基本嵌入到自身中。这意味着我们有基本的

j1，j2，j3....j1:(Vκ，∈)→(Vκ,∈), j2:（Vκ，∈,j1)→(Vκ,∈，j1)，j3:(Vκ,∈，j1,j2)→(Vκ，∈,j1,j2)

等等。这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。

对于每个序数λ，存在一个ZF+Berkeley基数的传递模型，该模型在λ序列下是封闭的。义的类

大基数公理的极限还远远没有止步于伯克利基数，在未来，必将还会出现更多更强的大基数...而所有大基数似乎对于终极数学宇宙L、冯·诺依曼宇宙V也是非常的渺小......

终极数学宇宙L相当于一切已知和未知的大基数模型设终极数学宇宙L为一个内模型，而有了内模型自然有外模型而冯·诺依曼宇宙V在集合论中相当于一个最高的理想外模型