相似图形

20.相似图形（1）笔记

一、比例线段

一般地，四条线段如果满足：，那么叫做这四条线段成比例。四条线段成比例具有顺序性

二、平行线分线段成比例定理

1、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

2、推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 (由平行得比例)

（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例

3、逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 (由比例得平行)

= ， = ， = ， = ， = =

三、比例的基本性质：

(1) 如果 = 那么ad=bc (比例化乘积)

（2）如果 ad=bc ,那么 = (乘积化比例)

四、比例的其他性质：

1、合比性质：

2、等比性质： （）

3、反比性质：如果 = ，那么 =

4、更比性质：如果 = ，那么① = ；② =

5、（解决比例问题：见比值用设K法，万能法）

五、相似多边形：

1、.如果两个多边形的对应角相等，对应边的比成比例，那么这两个多边形是相似多边形．

举例：

一块长3 m，宽1.5 m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边

框宽7.5 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？

六、位似图形

1、位似多边形的定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A、A′的连线(或延长线)都经过同一个点O，且有OA′＝kOA(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，这时的相似比k又称为位似比．

2、位似分为：同向位似和反向位似 (在坐标系中求位似点的坐标，有时候有2个答案)

3、位似多边形的性质：

(1)位似多边形一定相似，位似多边形具有相似多边形的一切性质；（但相似不一定位似）

(2)位似多边形上任意一对对应点的连线 (或延长线)都经过位似中心，并且到位似中心的距离之比等于位似比．

4、坐标系中，位似与坐标变化规律：在平面直角坐标系中，一个多边形每一个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|．

5、我们学习过的图形变换包括：平移、轴对称、旋转和位似．其中经过平移、轴对称、旋转变换前后的两个图形一定是全等的；而经过位似变换前后的两个图形是相似的．

6、黄金分割的定义：

在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中≈0.618

注意：（1）一条线段有2个黄金分割点

（2）另一个比值： = ≈0.382

等边三角形中△ABC，APM = 60°则

△ABP∽△PCN

2、 相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形（定义既是性质又是判定）

3、 相似比：相似三角形对应边的比，叫相似比，用“K”表示。相似比具有顺序性。

四、三角形相似的判定定理：

（1）判定定理1两角对应相等，两三角形相似

（2）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

（3）判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似

其他有益结论：（注意小证明题不可直接用）如下：

（1）平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似（由平行得相似）

（2）直角三角形相似判定

①以上各种判定方法均适用

②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

③双垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

五、相似三角形的性质

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（所有对应线段的比都等于相似比，如：外接圆半径、内切圆半径等）

（3）相似三角形周长的比等于相似比

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方