正则函数（regularfunction），又称全纯函数、解析函数，属于高等数学中的函数，可展开为幂级数的(实变)函数，称为正则函数，上述定义还适合于复变函数。通常，正则函数是对复变函数定义的：在定义区域内处处可微的复变(复值)函数，称为正则函数。
定义
正则函数亦称全纯函数或解析函数，是解析函数论的主要研究对象，对于定义于复平面上区域
内的复变量z的单值函数
，如果它在D内的每个点
的一个邻域内都可以用
的幂级数表示，则称
在D内解析，外尔斯特拉斯(K.(T.W.)Weierstrass)从幂级数出发，建立了解析函数的级数理论，如果在
内的每个点z处，极限
(称为函数
在z点的导数)都存在，柯西(A.-L.Cauchy)称
在D内是解析的，这两个定义是等价的。函数
在D内解析的另一个等价条件是：
在
内的每一个点
处存在连续偏导数，并且满足柯西-黎曼方程(或称柯西-黎曼条件)：
这个条件有时简称C-R条件或称达朗贝尔-欧拉条件，函数f(z)在区域D内解析的第四个等价条件是莫雷拉定理。[2]
性质定理
性质1 函数
在域D内每一点具有导数
，而且导数
在D内为连续。[3]
性质2 在域D中，函数
的实部
(于此，
)，)和虚部
具有一次连续偏导数
它们在D内满足恒等条件
性质3 这项性质预先假定了函数
在域D内为连续；下面，我们把它用两种不同方式(
和
)叙述出来，这两种方式等价。
：无论对于域D内的任何两点
和b，沿D内从
到b所引的(有限长)曲线C所取的积分
与积分的路径无关，而仅与函数
和始点a及终点b有关；
：对于域D内的任何(有限长)闭曲线
，沿这曲线所取的积分
等于0。
性质4 对于域D内的任何一点a，函数
在点a可展成一幂级数。详言之：对于域D内的任何一点a，存在一列系数
(与a有关)，使得级数
在某一圆
(圆的半径R与a有关)内收敛，且其和等于
。[3]
性质5 函数
在域内每一点具有导数
。
对于与柯西同时的人黎曼(B.Riemann，1826一1866)来说(他与柯西无关地在德国奠定了复变函数论的基础)，出发点就是关系
这在后来通行叫作“柯西一黎曼条件”(或欧拉一达朗贝尔条件)。
对于比较靠近20世纪的德国学者魏尔斯特拉斯(K.Weierstrass，1855--1897)来说(他除了几个其他的数学科目之外，并对复变函数论建立起坚实的基础)，出发点是可以展开成幂级数这种性质(性质4)。
最后，从近代的数学方法论的观点来看，在建立复变函数论的时候，采用解析函数的积分性质(性质3)可能有很大的优越性，这是因为在很快得出柯西积分之后，就可以从它进而导出可微分性，以及可以展成幂级数性等。
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