向量分析是数学的分支，关心拥有两个维度或以上的向量的多元实分析。它有一套方程式及难题处理技巧对物理学及工程学特别有帮助。在微分几何与偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理和工程中，特别是在描述电磁场、引力场和流体流动的时候。
中文名
向量分析
所属学科
数学
简介相关应用扩展TA说
简介
向量分析关注向量场的微分和积分，主要在3维欧几里得空间
中。“向量分析”有时用作多元微积分的代名词，其中包括向量分析，以及偏微分和多重积分等更广泛的问题。
向量分析从四元数分析发展而来，由约西亚·吉布斯和奥利弗·黑维塞于19世纪末提出，大多数符号和术语由吉布斯和黑维塞在他们1901年的书《向量分析》中提出。向量演算的常规形式中使用外积，不能推广到更高维度，而另一种几何代数的方法，它利用可以推广的外积，下文将会讨论。
相关应用
1.代数运算
向量分析中的基本代数（非微分）运算的称为向量代数，定义在向量空间，然后应用到整个向量场，包括：
1.标量乘法
标量场和向量场相乘，产生向量场：
；
2.向量加法
两个向量场相加，产生向量场：
；
3.内积
两个向量场相乘，产生标量场：
；
4.外积
两个向量场相乘，产生向量场：
；
5.标量三重积
向量和两个向量叉积的点积：
；
6.向量三重积
向量和两个向量叉积的叉积：
或
；
尽管三重积不常作为基本运算，不过仍可以用内积及外积表示[1]。
2.微分运算
向量分析研究定义在标量场或向量场定义的不同微分算子，通常用的向量算子（∇）来表示，也被称为“Nabla算子”。向量分析的五个最重要的微分运算[2]：
算子
表示
叙述
界域
梯度
标量场
于场中某点增加率最大的速率与方向
标量场的梯度是向量场
散度
向量场
于场中某点附近发散或汇聚的程度
向量场的散度是标量场
旋度
向量场
于场中某点附近旋转的程度
向量场的旋度是向量场
向量拉普拉斯算子
均值在无穷小的球内向量场的值不同的程度
向量场的向量拉普拉斯是向量场
拉普拉斯算子
对标量场
作梯度运算后，再作散度运算
标量场的拉普拉斯是标量场
收起
3.相关定理
同样，也有几个与这几个相关的重要定理，将微积分基本定理拓展到了更高维度：
定理
表示
注解
梯度定理
梯度（向量）场中的曲线积分与它的标量场中两个端点的差。
格林定理
平面内向量场中区域的标量旋度，等于向量场沿逆时针方向的封闭曲线的线积分。
斯托克斯定理
内向量场的旋度的曲面积分，等于向量场在曲面边界上的线积分。
高斯散度定理
向量场的散度对体积的积分，等于穿过包围体积的闭曲面通量的积分。
收起
扩展
保守向量场
螺线向量场
同源理论
四元数
京公网安备11010502036362号