光滑流形

最近开始系统的看光滑流形，对于一个初学者来说，对概念的理解相当困难。故写下这篇文章，尝试去解释光滑流形的一些概念。

建立光滑流形的初衷当然是为了研究更一般微积分，首先来看看光滑流形的定义

定义1.设 为一个拓扑空间，并且有一个可数的拓扑基。对于任意点 ，存在 的邻域 和同构 ，其中 是 中的开集。则称 为一个 维流形。

其中 叫做一个包含 的坐标卡。

定义2.设M为一个n维流形，如果 满足：

（1） 构成M的一个开覆盖；

（2） 中的坐标卡互相之间是相容的，也就是说，任意 ,要么 ，要么 是一个光滑同构，

那么称 为一个图册。

定义3.一个图册 为极大的，当所有与中坐标卡都相容的坐标卡都在 中。一个极大坐标卡称为M的光滑结构，此时称 为一个光滑流形，简记为 。光滑流形的极大图册里的坐标卡又叫容许坐标卡，如不特别说明，坐标卡就特指容许坐标卡。

直接描述极大图册是十分困难的，因为它可能异常的大。下面命题给了一个描述极大图册的办法。

命题4.任意一个图册唯一的包含在一个极大图册中。

证明大概是将与图册 中所有坐标卡相容的坐标卡放在 中，之后证明 就是我们找的极大图册，这里不再赘述。

这里问题来了，似乎一个流形能不能给予光滑结构和它看起来光不光滑没什么关系，比如我们考虑 的图像，我们都知道这个函数在 这个地方是不光滑的。但如果我们考虑从图像直接投影到x轴，这无疑是一个整体上的坐标卡，所以是构成一个图册，进而诱导一个极大图册，进而是一个光滑流形！其实仔细想来，我们所说的拓扑空间往往也长得不像什么空间，关键不在它长什么样，而是它的开集的结构怎么样。 的图像从拓扑上看和 没什么区别，而现在赋予了一个和 一样的光滑结构（当我们将 看做光滑流行时，总是默认是由恒等映射诱导的光滑结构），实际上这两个从光滑流形上看也是一样的。

现在着力于建立光滑流形间的态射。

定义5. 是两个光滑流形， 叫做一个光滑映射如果对于任意 ，包含 的坐标卡 和包含 的坐标卡 ，我们有 在 处光滑。特别的， 为 时 又叫光滑函数。

定义6.如果存在光滑映射 和 使得 和 均为恒等映射，那么称 为微分同胚， 和 为微分同胚的，并记 为 。

若两个空间为同胚的，那么这个同胚映射自然的诱导了两个空间开集之间的一一对应。对于微分同胚，从定义6很难看出是否诱导了容许坐标卡之间的对应，因此有下面命题来验证我们的想法。

命题7.（原创，虽然比较平凡）一个微分同胚诱导了容许坐标卡的一一对应。

证明：沿用定义6的符号。对于 的一个容许坐标卡，自然想到对应于 ,我们只需证这是 的一个容许坐标卡即可，这等价于证明这个坐标卡和 的容许坐标卡都是相容的。设 为 的任一容许坐标卡，由定义知 和 均为光滑的，而他们又互为逆映射，故 为一个光滑同胚，故 和 是相容的，从而得到了 的容许坐标卡到 的容许坐标卡的映射。从 到 同样处理，我们就得到了容许坐标卡之间的一一对应。证毕。