辛拓扑和层论

望月礼子@伊藤朝阳 师兄辛苦了, 今天组会的时候在您的帮助下没有挂黑板.

伊藤朝阳没有关系的, 同门当互助 (其实 @佐藤教授 在看手机啦

佐藤教授啊哈哈哈被你发现了, 望月桑不要那么紧张, 可以自信一些的.

柏原教授@全体成员 今天我路过的时候看到你们在讲关于层论在辛拓扑中的应用?

伊藤朝阳是的是的, 柏原教授. 我们组之前去了 ICST 的, 所以回来之后在做一些总结.

柏原教授啊原来是这样, 现在这种情况让你们去巴西真的辛苦了.

柏原教授之前就想和你们说了, 你们组要不要来看我关于层上的微小支撑的一点点想法呢?

伊藤朝阳当然, 柏原教授.

望月礼子那真的是太荣幸了, 谢谢您的邀请. @柏原教授

佐藤教授诶诶这好啊, 来来来 @柏原教授 您请讲.

柏原教授首先我们考虑一个流形 X 上的 R-模层, 其中 R 含幺交换.

柏原教授我们回忆一下这个层的上同调层的茎.

伊藤朝阳

望月礼子茎中元素是点 x 的邻域上的上同调类, 模掉一个在更小邻域上相等的等价关系.

柏原教授没错没错, 那你们说说, 什么时候茎为零呢?

望月礼子只要在点 x 周围的任意邻域上上同调消散, 那么茎就消散.

柏原教授然后我们给出一个定义: 如果说 x 是一点且 p 是其上余切空间的元素, 那么我们称层 F 在点 x 处沿 p 传播, 当对于所有一阶连续可导的函数 \phi, 定义在 x 的邻域上, \phi(x)=0 且其外微分为 p 时, 对于每个 j, 如下由含入诱导的映射为同构.

柏原教授

伊藤朝阳我们是否能考虑其它结构, 更精细或更粗糙, 上的微分层的传播呢?

柏原教授当你工作在其他具有微分的层上时, 直接用那个微分替换掉外代数的外微分即可, 例如Zariski余切空间上的微分. 当然在我们接下来的讨论中我们以光滑流形 X 为例.

望月礼子那么我们是否可以说, 如果 F 传播, 因为邻域 U 是任意的, 那么每个在某种"Zariski半邻域"上的截面都可以被扩展到一个茎上的截面?

佐藤教授我想是的, 这也应该是这个定义的意图.

柏原教授没错, 望月桑十分聪明.

柏原教授那么, 很自然地, 我们定义一个与切空间层的微支撑的子层 SS(F). 具体来说, 它的元素是形如 (x, p) 的组, 其中 F 不在 x 上沿 p 传播, 它的截面是如上定义的组所构成子空间的闭包.

柏原教授这在某种意义上定义了一个具有不好性质的点的子空间.

望月礼子SS(F) 自动具有锥形层结构, 并且它与零截面的交集是层本身的支撑.