十大数学公式（知识点）

作者今天发送的是著名的十大数学公式

1.欧拉恒等式这是一个非常著名的恒等式。它给出了3个看似随机的量之间的联系：π、e和-1的平方根。许多人认为这是数学中最漂亮的公式。一个更一般的公式是e^(ix)=cosx+isinx(a^b表示a的b次方，下同)。当x=π，cosx取值为-1，而isinx取值为0。由-1+1=0，我们得到了欧拉恒等式。2.欧拉乘积公式等式左边的符号是无穷求和，而右边的符号则是无穷乘积。这个公式也是欧拉首先发现的。它联系了出现在等式左边的自然数（如n=1，2，3，4，5等等）与出现在等式右边的素数（如p=2，3，5，7，11等等）。而且我们可以选取s为任意大于1的数，并保证等式成立。欧拉乘积公式的左边是黎曼ζ函数最常见的一种表示形式。3.高斯积分函数e^(-x²)本身在积分中是很难对付的。可是当我们对它在整个实数轴上积分，也就是说从负无穷到正无穷时，我们却得到了一个十分干净的答案。至于为什么曲线下面的面积是π的平方根，这可不是一眼就能看出来的。由于这个公式代表了正态分布，它在统计中也十分重要。4.连续统的基数上面的公式说明了实数集的基数与自然数全体子集的基数相同。这首先是被集合论的建立者康托尔证明的。值得注意的是，这也说明了连续统是不可数，因为2^N>N。一个相关的假设是连续统假设。这个假设是说，在N和R之间不存在其它的基数。有趣的是，这个假设有一个奇怪的性质：它既不能被证明也不能被证伪。5.阶乘函数的解析延拓阶乘函数通常被定义为n!=n(n-1)(n-2)……1。但是这个定义只对n是正整数时有效，而上面积分方程则对分数和小数也有效，而且还可以用于负数、复数等等……同样的积分式中我们把n换成n-1就定义了伽马函数。6.勾股定理勾股定理恐怕是这个清单中最熟悉的公式了。它给出了直角三角形三边的联系，其中a和b是直角边长，而c是斜边长。这个公式还将三角形和正方形联系了起来。7.斐波那契数列的通项这里，注意到φ这个数字是黄金分割比例。很多人可能听说过斐波那契数列（0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，数列中每一项是前两项的和），却很少人知道有一个公式能够计算出任意某一项斐波那契数：这就是上面我们给出的公式，公式里面F(n)代表第n个斐波那契数。也就是说，为了得到第100个斐波那契数，你不需要去计算前99个，而只需要把100代入公式。值得注意的是，即便在计算过程中出现了许多根号和除法，最后的答案总是一个精确的正整数。8.巴塞尔问题这个公式告诉我们，如果你取所有完全平方数并将它们的倒数和相加，你将会得到\pi^2/6。这是欧拉首先证明的。注意到这个式子只是在前面的第二个方程（欧拉乘积公式）中令s=2。后者是黎曼ζ方程，因此我们可以说ζ(2)的值是π²/6。9.调和级数这个公式有点反直觉，因为它告诉我们，如果你把一些不断变小的数（最终趋向0）加起来，最后将会得到无穷。可是如果你是取它们的平方，和却是一个有限的值（答案是π²/6）。如果仔细观察调和级数，你会发现它正是ζ(1)。10.素数计数公式的显式表达这个方程的重要性体现在：素数是那些除了1和它本身以外没有其它因子的数。小于100的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。由此可知，素数的出现没有显然的规律：对于一串连续正整数，有时候你会找到许多素数，有时候你会一个也找不到。找到很多或一个找不到似乎是完全随机的。很长时间以来，数学家都在尝试给出素数分布的规律。上面的公式正是不大于一个给定数素数个数的显式表达。以下是各个符号的意义：π(x):素数计数函数。它给出了不大于一个给定数的素数个数。例如，π(6)=3，因为有3个素数不大于6：2，3，5。μ(n):莫比乌斯函数。它依据n的质因数分解而取值为0，-1或1。Li(x): 对数积分函数。它被定义为函数1/lnt从0到x的积分。ρ: 黎曼ζ函数的任意非平凡零点。令人吃惊的是，整个公式的结果总是一个精确的正整数！这说明，给定一个实数，我们可以把它代入公式并得到不大于它的素数个数。存在着这样一个公式的事实说明，素数的分布存在某些规律，只是我们现在还不能理解罢了。

作者内容多，也很难理解，但只要肯下功夫你一定能学会的！

作者加油呀！