勾股定理

一、知识归纳

1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么c²=a²+b².

注：勾—最短的边、股—较长的直角边、弦—斜边。

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。用含字母的代数表示n组勾股数：n²-1，2n，n²+1（n≥2，n为正整数）.

2、勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，思路如下：

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

3、勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

4、勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。

③可运用勾股定理解决一些实际问题，例如距离问题、线路最短问题、梯子下滑问题。

5、勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形；若a²+b²<c²时，以a，b，c 为三边的三角形是钝角三角形；若a²+b²>c²时，以a，b，c 为三边的三角形是锐角三角形。

②定理中a，b，c 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c 满足a²+c²=b²，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边。

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。

④勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理。

6、勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论。

二、典型例题

例1、如果梯子的低端建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

例2、水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，求水池的深度。

例3、正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB=1/4AB，那么DEF是直角三角形吗？为什么？

参考答案：

例1:根据勾股定理，a²+b²=c²，即x²+9²=15²，所以x=12.

例2:根据勾股定理，AC²+CD²=AD²，

设水深AC=x米，那么AD=AC+CB=x+0.5

x²+1.5²=（x+0.5）²

解得x=2。故水深为2米。

例3:设正方形ABCD的边长为4a，则BE=CE=2a，AF=3a，BF=a

在Rt△CDE中，DE²=CD²+CE²=（4a）²+（2a）²=20a²

同理EF²=5a²，DF²=25a²

在△DEF中，EF²+DE²=5a²+20a²=25a²=DF²

∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°。