莱昂哈德欧拉

时代背景

分析的时代

欧拉的数学生涯开始于牛顿(Newton)去世的那一年。对于欧拉这样一个天才人物，不可能选择到一个更有利的时代了。解析几何(1637年问世)已经应用了90年，微积分大约50年，牛顿(Newton)万有引力定律这把物理天文学的钥匙，摆到数学界人们面前已40年。在这每一个领域之中，都已解决了大量孤立的问题，同时在各处做了进行统一的明显尝试。但是还没有像后来做的那样，对整个数学，纯粹数学和应用数学，进行任何有系统的研究。特别是笛卡儿(Descrates)、牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)强有力的分析方法还没有像后来那样被充分运用，尤其在力学和几何学中更是如此。

那时代数学和三角学已在一个较低的水平上系统化并扩展了。特别是后者已经基本完善。欧拉也证明了他确是个大师。事实上，欧拉多方面才华的最显著特点之一，就是在数学的两大分支－－连续的和离散的数学中都具有同等的能力。

雅可比

作为一个算法学家，欧拉从没有被任何人超越过。也许除了雅可比之外，也没有任何人接近过他的水平。算法学家是为解决各种专门问题设计算法的数学家。举个很简单的例子，我们可以假定(或证明)任何正实数都有实数平方根。但怎样才能算出这个根呢？已知的方法有很多，算法学家则要设计出切实可行的具体步骤来。再比如，在丢番图分析中，还有积分学里，当一个或多个变量被其他变量的函数进行巧妙的(常常是简单的)变换之前，问题往往不可能解决。算法学家就是自然地发现这种窍门的数学家。他们没有任何同一的程序可循，算法学家就像随口会作打油诗的人－－是天生的，而不是造就的。

当一个真正伟大的算法学家像印度的罗摩奴阇一样不知从什么地方意外来临的时候，就是有经验的分析学者也会欢呼他是来自天国的恩赐：他那简直神奇的对表面无关公式的洞察力，会揭示出隐藏着的由一个领域导向另一个领域的线索。从而使分析学者得到为他们提供的弄清这些线索的新题目。算法学家是"公式主义者"，他们为了公式本身的缘故而喜欢美观的形式。[5]

环境的因素

在谈到欧拉平静而有趣的生活之前，我们必须介绍一下他那个时代的两个环境因素，这些因素促进了他的惊人的活跃，并对他的活动有指导作用。

在18世纪的欧洲，大学不是学术研究的主要中心。假如没有古典派的传统及其对科学研究的可以想像的敌意，大学本来是可以成为主要中心的。数学对于古代人足够严密，受到重视；而物理学比较新，受到人们的怀疑。此外，在当时的大学里，人们希望数学家把他的大部分力量放在基础教学上。至于学术研究，如果搞的话，那将是毫无益处的奢侈，就像今天在一般的美国高等学校里那样。那时候英国大学的研究员们能够把他们选择的课题搞得相当好。然而，他们很少愿意选择什么课题，反正搞成了什么或没搞成什么都不会对他们的面包和黄油产生影响。在如此的松弛，或者说公开的敌意之下，根本没有什么好理由来解释为什么那些大学本来应该在科学发展中起带头作用，而事实上却没有起到。

这个带头的责任由得到慷慨或有远见的统治者所资助的各个皇家科学院承担了。普鲁士腓特烈大帝和俄国叶卡捷琳娜女皇慷慨地给了数学以无法报偿的资助。他们使得数学的发展有可能在整整一个世纪之中处于科学史上一个最活跃的时期。对欧拉来说，是柏林和圣彼得堡提供了数学创作的力量。而这两个创造力的中心都应当把它们对欧拉的激励归功于莱布尼茨(Leibniz)不断进取的雄心。是莱布尼茨(Leibniz)起草过规划的这两个科学院给欧拉提供了成为历史上最多产的数学家的机会。因而，在某种意义上说，欧拉是莱布尼茨(Leibniz)的苗裔。

莱布尼茨

柏林科学院由于缺乏头脑而日渐衰败已有40年，欧拉在腓特烈大帝的鼓励下给了它有力的冲击，使它再次有了生气。彼得大帝在世时没来得及按照莱布尼茨(Leibniz)的规划建立起来的圣彼得堡科学院，则由他的继位者建立起来了。

这两个科学院不像今天一些科学院那样以鉴定精心撰写的优秀著作，授予院士资格为主要职责。它们是研究机构，雇佣院士进行科学研究。薪水和津贴金很优厚，使人足以保证本身家庭的舒适生活。欧拉的家属一度不少于18个人，他还是足以维持他们都过着丰裕的生活。使18世纪院士生活具有吸引力的最后一点是，他的孩子们只要有任何一点才能，都肯定会得到很好的施展机会。

接下来我们就会看到对欧拉的丰硕数学成果具有决定性影响的第二个因素。提供财政支持的统治者很自然地会希望他们的金钱除开抽象的文化之外再多换到些东西。但必须强调的是，一旦统治者的投资得到了适当的报偿，他们就不再坚持要受雇佣的人把剩余时间也花到"生产性"工作上了。欧拉、拉格朗日和其他院士们都可以自由地做他们乐意做的工作。没有任何明显的压力来迫使谁搞出点什么能被政府直接利用的实际成果。18世纪统治者们比今天许多研究院院长更明智的是让科学按自己的规律发展的，只不过偶尔提到他们眼前需要什么。他们似乎本能地意识到了，只要不时作个恰当的暗示，所谓的"纯粹"研究就会把他们期待的紧迫实际问题作为副产品搞出来。

这个笼统的说法有一个重要的例外，它既不证明，也不否定这个规律。刚巧在欧拉的时代，数学研究中悬而未决的问题正好与海洋霸权这个当时也许是第一等的实际问题联系在一起。航海技术胜过所有其他对手的国家必然会控制海洋。而航海的首要问题是在离岸数百海浬的大海中精确地确定舰船的位置，以使之比敌手更快地航抵海战的地点(不幸，只是为了这个)。正如众所周知的，英国控制了海洋。它能做到这一点，在很大程度上是由于它的航海家在18世纪能够把天体力学中的纯数学研究成果加以实际应用。这样一项实际应用正与欧拉直接有关。现代航海的奠基人当是牛顿(Newton)，尽管他本人并不曾为这个问题费过脑筋，也从不曾(就人们迄今所知)踏上过一艘舰船的甲板。确定海上船的位置要靠观测天体(在特别的航行中有时这要包括木星的卫星)。牛顿(Newton)万有引力定律表明必要时以充分的耐心可以预先算出百年之内的行星位置和月相盈亏之后，希望控制海洋的那些人便安排航海天文历的计算人员下苦功编制行星未来位置的表格。

大航海时代

在这一项很实用的事业中，月亮引出了特别棘手的问题，即牛顿定律彼此吸引的三个星体的问题。当我们进入20世纪的时候，这个问题还要重现许多次。欧拉是第一个为这个月球问题提出一种可以计算的解法(月球理论)的人。这三个相关星体是月亮、地球和太阳。虽然关于这个问题在这里谈不了什么，要推到后几章去，但我们可以说，这个问题是整个数学范畴内最难的问题之一。欧拉不曾具体解答这个问题，但他的近似计算方法(今天被更好的方法代替)具有充分的实用价值，足以使英国的计算人员为英国海军部算出月球表了。为此，计算者获得5000英镑(当时这是相当大的一笔款子)，欧拉因其方法而得到300英镑的奖金。

欧拉的贡献之一——月球问题

所获评价

人类历史上最有影响的100人之一

欧拉是18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一。十八世纪瑞士数学家和物理学家伦哈特·欧拉始终是世界最杰出的科学家之一。他的全部创造在整个物理学和许多工程领域里都有着广泛的应用。 欧拉的数学和科学成果简直多得令人难以相信。他写了三十二部足本著作，其中有几部不止一卷，还写下了许许多多富有创造性的数学和科学论文。总计起来，他的科学论著有七十多卷。欧拉的天才使纯数学和应用数学的每一个领域都得到了充实，他的数学物理成果有着无限广阔的应用领域。

早在上一个世纪，艾萨克·牛顿就提出了力学的基本定律。欧拉特别擅长论证如何把这些定律运用到一些常见的物理现象中。例如，他把牛顿定律运用到流体运动，建立了流体力学方程。同样他通过认真分析刚体的可能运动并应用牛顿定律建立了一个可以完全确定刚体运动的方程组。当然在实际中没有物体是完全刚体。欧拉对弹性力学也做出了贡献，弹性力学是研究在外力的作用下固体怎样发生形变的学说。

欧拉的天才还在于他用数学来分析天文学问题，特别是三体问题，即太阳、月亮和地球在相互引力作用下怎样运动的问题。这个问题──二十一世纪仍要面临的一个问题──尚未得到完全解决。顺便提一下，欧拉是十八世纪独一无二的杰出科学家。他支持光波学说，结果证明他是正确的。

欧拉丰富的头脑常常为他人做出成名的发现开拓前进的道路。例如，法国数学家和物理学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日创建一方程组，叫做“拉格朗日方程”。此方程在理论上非常重要，而且可以用来解决许多力学问题。但是由于基本方程是由欧拉首先提出的，因而通常称为欧拉—拉格朗日方程。一般认为另一名法国数学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶创造了一种重要的数学方法，叫做傅里叶分析法，其基本方程也是由伦哈特·欧拉最初创立的，因而叫做欧拉—傅里叶方程。这套方程在物理学的许多不同的领域都有着广泛的应用，其中包括声学和电磁学。

在数学方面他对微积分的两个领域──微分方程和无穷级数──特别感兴趣。他在这两方面做出了非常重要的贡献，但是由于专业性太强不便在此加以叙述。他对变分学和复数学的贡献为后来所取得的一切成就奠定了基础。这两个学科除了对纯数学有重要的意义外，还在科学工作中有着广泛的应用。欧拉公式  表明了三角函数和虚数之间的关系，可以用来求负数的对数，是所有数学领域中应用最广泛的公式之一。欧拉还编写了一本解析几何的教科书，对微分几何和普通几何做出了有意义的贡献。

欧拉不仅在做可应用于科学的数学发明上得心应手，而且在纯数学领域也具备几乎同样杰出的才能。但是他对数论做出的许多贡献非常深奥难懂，不宜在此叙述。欧拉也是数学的一个分支拓扑学领域的先驱，拓扑学在二十世纪已经变得非常重要。

欧拉的贡献之一——拓扑学

最后要提到的一点也很重要，欧拉对使用的数学符号制做出了重要的贡献。例如，常用的希腊字母π代表圆周率就是他提出来的。他还引出许多其它简便的符号，数学中经常使用这些符号。

即使没有欧拉其人，他的一切发现最终也会有人做出。但是我认为做为衡量这种情况的尺度应该提出这样的问题：要是根本就没有人能做出他的发现，科学和现代世界会有什么不同呢？就伦哈特·欧拉的情况而言，答案看来很明确：假如没有欧拉的公式、方程和方法，现代科学技术的进展就会滞后不前，实际上看来是不可想象的。浏览一下数学和物理教科书的索引就会找到如下查照：欧拉角（刚体运动）、欧拉常数（无穷级数）、欧拉方程（流体动力学）、欧拉公式（复合变量）、欧拉数（无穷级数）、欧拉多角曲线（微分方程）、欧拉齐性函数定理摘微分方程）、欧拉变换（无穷级数）、伯努利—欧拉定律（弹性力学）、欧拉—傅里叶公式（三角函数）、欧拉—拉格朗日方程（变分学，力学）以及欧拉一马克劳林公式（数字法），这里举的仅仅是最重要的例子。

欧拉的著述浩瀚，不仅包含科学创见，而且富有科学思想，他给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学献身的精神。历史学家把欧拉同阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”。如今，在数学的许多分支中经常可以看到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

从所有这一切来看，有些人可能要问为什么在美国学者迈克尔.哈特在其所着的《历史上最有影响的100人》中没有把欧拉的名次排得更高些，其主要原因在于虽然欧拉在论证如何应用牛顿定律方面获得了杰出的成就，但是他自己从未发现任何独创的科学定律，这就是为什么要把威廉·康拉德，伦琴和格雷戈尔·孟德尔这样的人物排在他前面的原因。他们每个人主要是发现了新的科学现象或定律。尽管如此，欧拉对科学、工程学和数学的贡献还是巨大的。

大师评价

欧拉计算起来轻松自如， 就像人们呼吸， 鹰在空中飞翔。

------ D.F.J.Arago （阿拉戈）

学习欧拉的著作，乃是认识数学最好的工具。

------ Johann Carl Friedrich Gauss （卡尔·弗里德里希·高斯）

今天的学生从欧拉的无穷分析引论中所能获得的益处, 是现代任何一本教科书都不能比拟的。

　　------ A.Weil（外尔）

读欧拉的著作吧，在任何意义上，他都是我们的大师。

------Pierre-Simon Laplace（皮埃尔-西蒙·拉普拉斯）

我介绍高等分析的时候，它还是个孩子，而你正在将它带大成人。

------Johann Bernoulli（约翰·伯努利）

纪念活动

前苏联

俄罗斯的近代数学可以认为从欧拉开始的，欧拉在俄国生活了 30 多年，他积极将先进的科学知识传入长期闭塞落后的俄罗斯，创立了俄罗斯第一个数学学派——欧拉学派，亲手将一大批俄罗斯青年引进了辉煌的数学殿堂。这也就不难理解，在许多前苏联和俄罗斯的书籍里，都亲切地称欧拉是“伟大的俄罗斯数学家”。为了纪念欧拉诞辰250周年，前苏联于1957年发行了印有欧拉头像的邮票。文字内容为：欧拉，伟大的数学家和学者，诞辰250周年。

瑞士

在一个小国家里诞生一位科学巨匠，这在世界史上并不多见。瑞士数学家欧拉便是其中最出色的一位，虽然他成年以后一直生活在两座遥远的异国城市：彼得堡和柏林，他的肖像画却出现在瑞士法郎上，与英镑上的牛顿一起成为至今仍流通欧洲的纸币上仅有的两位科学家。1707年4月15日，欧拉出生在瑞士西北部邻近法国和德国的巴塞尔，这座通用法语的城市至今人口仍不足20万，却拥有瑞士最早的学府———巴塞尔大学（1460），莱茵河蜿蜒着穿过她的中心。德国哲学家尼采年轻时曾在巴塞尔大学担任过十年的古典文献学教授，在那里完成了他的代表作《悲剧的诞生》，并与在近郊安度晚年的音乐家瓦格纳成为莫逆之交。

瑞士于1957年发行：纪念欧拉的250周年诞辰

瑞士是欧拉的出生地，也是欧拉学习和生活过的地方，为了纪念欧拉的数学贡献，以及对世界科学的影响，瑞士于1957年发行一套邮票，以此纪念欧拉的250周年诞辰，又于2007年发行新的纪念邮票，纪念欧拉诞辰300周年。

德国于1957年发行的纪念欧拉的邮票

1740年，安娜女皇退位并于当年去世，欧拉遂接受了普鲁士国王腓特烈大帝的邀请，到柏林科学院担任数学部主任。欧拉与普鲁士国王相处并不愉快，因为国王喜欢溜须拍马的大臣。腓特烈大帝之所以支持数学只是感到那是一种责任，但他从内心里讨厌这门学问，因为他自己的数学很蹩脚，这方面他无法与法兰西皇帝拿破仑相比，后者自称是个几何学家，并与同时代所有的巴黎数学家都交上了朋友。即使达朗贝尔十分坦率地告诉普鲁士国王，把任何其他数学家置于欧拉之上都是一种错误的行为。可惜的是，这不仅没有让自负的国王改变对欧拉的看法，反而变本加厉使得欧拉更难以忍受。为了自己子女的前途，欧拉只好打点行装，离开了生活了25年之久的柏林，再次回到了寒冷的彼得堡，他的妻子和儿孙们也一同返回。

在欧拉回到彼得堡之后，女皇以皇室的规格接待他，拨给他一栋可供全家18人居住的大房子和成套的家具，并派去自己的一个厨子。恼羞成怒的普鲁士国王只得写信给法国数学家拉格朗日，“欧洲最伟大的国王希望欧洲最伟大的数学家在他的宫里。”显而易见，他对欧拉的离任耿耿于怀。

民主德国于1950年发行

前东德发行的欧拉逝世200周年纪念邮票

为了纪念曾经生活在德国的欧拉，德国曾于1950年，1957年，1983年发行了纪念邮票。1950年，在纪念柏林科学院成立250周年的一套邮票中就有画有欧拉头像的邮票。1957年的"Famous Scientists"系列票中也有欧拉的头像。1983年发行的纪念邮票是为了纪念欧拉的200周年忌辰。[

中国

为庆祝欧拉诞辰300周年，瑞士政府、中国科学院及中国教育部于2007年4月23日下午在北京的中国科学院文献情报中心共同举办纪念活动，回顾欧拉的生平、工作及对现代生活的影响。瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber在开幕致词中说：“今天，我们在这里纪念近代历史上最伟大的学者之一。没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。

瑞士于2007年发行：纪念欧拉诞辰300周年

中国科学院副秘书长郭华东、教育部国际合作司司长助理徐永吉、中国科学院数学与系统科学研究院院长郭雷也分别发表了致词。

值得一提的是，吴文俊院士也出席了纪念活动，并介绍了欧拉和中国古代数学家之间不谋而合的研究方向

美国

2013年4月15日是欧拉诞辰的306周年，谷歌更换了首页涂鸦向这位数学天才致敬。在那天的谷歌涂鸦中，融入了许多莱昂哈德・欧拉的数学成就。

谷歌Doodle纪念欧拉诞辰306周年

欧拉与中国

欧拉在数论中证明过一个定理，如今叫中国剩余定理，也叫孙子定理，在孙子算经中有一个简单的特例，后由南宋数学家秦九韶给出了一般形式。后来欧拉、高斯分别重新发现了这个定理，并给出了证明。

欧拉的著作最初传入中国，可追溯到大约250年前，由俄国传教士带进来，并送给天主教的一个支派“耶稣会”在中国的机构，曾收藏在北京天主教北堂的图书馆里。然而，明、清年代中国数学已经日渐衰落，裹足不前，远远落后于欧洲。大约在乾隆年间传入中国的欧拉著作只能束之高阁，无人问津。19世纪中叶，在李善兰与英国传教士合译的《代微积拾级》，华蘅芳与美国传教士傅兰雅合译的《微积溯源》中都介绍了欧拉和他的工作。中国人开始知道这位数学大家了，欧拉也登上了晚清人编写的《畴人传》。清末民初，西方的先进数学被引进中国，大学里开设了“微积分”等课程，这才使得越来越多的中国人认识了欧拉，学习他的数学。

欧拉也是所有中国数学家和中国人的导师。这首先是因为每一个进入学校接受教育的人，都要学习他所创造的数学知识；这更是因为，他那苦难而光辉的一生给后世无限的启迪，教导人们如何做人，如何做学问，如何生存。遗憾的是，目前中国还没有一家图书馆引进《欧拉全集》