集合的概念，基本关系

集合是一个数学概念，它表示一组具有某种共同特性的对象或元素的总和。这些元素可以是数字、字母、符号、图形等，它们之间具有明确的界限和确定性。集合中的元素是无序的，并且每个元素在集合中都是唯一的。

一般的我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（set）简称集

给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了。

一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

我们通常用大写拉丁字母ABC表示集合，小写表示元素。

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A。

一般的，设A是一个集合，我们把集合A中所具有共同特征p（x）的元素x所组成的集合表示为

这种表示集合的方法称为描述法。

集合的基本关系主要有三种，分别是包含、被包含（也称为真包含）以及相等。

如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称A被B包含，或A是B的子集。若A是B的子集，且A不等于B，则称A是B的真子集。当且仅当A是B的子集且B是A的子集时，集合A与B相等。这些关系帮助我们清晰地定义和比较集合。

可以发现，集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，这是我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。

一般的，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集。

在数学中我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。

一般的，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任意一个元素都是集合A的元素，那么几何A与几何B相等，记作A=B，也就是说若A⊆B，且B⊆A，则A=B。

如果集合A⊆B，但存在x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B

一般的，我们把不含任何元素的集合叫做空集，并规定:空集是任何集合的子集。空集不等于0，空集是一个集合不是一个元素。

空集是一个不包含任何元素的集合。它通常用符号∅或者{ }来表示。在集合论中，空集是一个非常重要的概念，它满足所有集合都包含空集作为它们的子集，也就是说，对于任何集合A，都有∅ ⊆ A。空集是集合论的基础之一，也是许多数学定理和证明的重要部分。

真子集是一个数学概念，指的是给定集合A的一个子集B，若B不等于A但B的每一个元素都是A的元素，那么B就是A的一个真子集。简而言之，真子集是除了它本身和全集外的子集。