如果一个k满足Vκ是ZFC的一个模型，那么κ是一个世界基数。
不可达基数
这个基数不与自然数集等势，＞N0，其序数为α，
设定β是序数，称β∪{β}为β的后继.可以证明，β是序数，则β的后继也是序数，记为β+1.
而序数α，不可以找到序数β，使α为β的后继，即不存在∃β(α=β+1)。
不可达基数I强不可达基数
cfκ=K(正则基数)，满足κ＞ℵ₀，如果ג＜κ,那么P(ג)或者其他任何运算也＜κ(强极限基数)κ就是一个强不可达基数,一般把强不可达基数叫做不可达基数,在GCH之下，每个弱不达基数也是强不可达基数，每个强不可达基数也都是弱不可达。
不可达基数是第一个大基数,比它小的称为小基数
这只是第一个不可达基数，
暂记作l(0)还会有第二个不可达：l(1)……
K是l(K)时便是2-不可达基数,暂记l₂
K是Ⅰ₂(K)便是3-不可达基数……
当K是K-不可达基数时便是超不可达基数
马洛基数
又称马赫罗基数
对于所有K，正则基数 β 的初始段（即 β 以下的所有基数）中都包含一个K基数。这里的K在这个基数以上所有的正则无限基数的并集中，删去所有小于K的基数后，剩余的基数集合是一个K的闭集。
也就是一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集，小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集，则κ为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集
取驻集族为{a {0,1} 都存在一个κ个元素的子集使f在这个集上的值相同。
不可描述基数
基数K称为∏n
不可描述基数如果对于每个∏m命题(φ，并且设置A⊆∨κ与(Vκ+n,∈，A)╞φ存在一个α＜κ与(V α+n，∈,A ∩Vα)╞φ。这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。∏n
不可描述基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1 阶逻辑的任何公式将κ与较小的基数区分开来（从下面看）。这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。
如果基数κ是∏nm，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。
可迭代基数
将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable 如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据。
拉姆齐基数：
构造：
让[ κ ]＜ω表示κ的所有有限子集的集合。如果 对于每个函数， 基数 κ称为 Ramsey
f : [ κ ]＜ω→{0,1}
存在基数为κ的集合A对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在A的基数n的子集上是常数。如果A可以被选为κ的固定子集，则基数κ被称为不可言说的Ramsey。如果
对于每个函数， 基数κ实际上
被称为Ramsey
f : [ κ ]＜ω→{0,1}
存在C，它是κ的一个闭无界子集，因此对于C中具有不可数共尾性的每个λ，都存在一个与 f 齐次的入的无界子集；稍微弱一点的是lamost Ramsey的概念，其中对于每个λ＜κ，需要有序类型λ的f的同质集。
将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable 如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据
可测基数
为了定义这个概念，人们在基数κ上或更一般地在任何集合上引入了一个二值度量。对于基数κ，它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集，使得κ本身很大，∅并且所有单例{ α }，α ∈ κ很小，小集的
补集很大，并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。
事实证明，具有二值测度的不可数基数是无法从ZFC证明其存在的大基数。
形式上，可测基数是不可数基数κ，使得在κ的幂集上存在κ加性、非平凡、0-1值测度。（这里术语k-additive意味着，对于任何序列A α，α＜λ的基数λ＜κ，A α是成对相交的小于κ的序数集，A α的并集的度量等于个人A α的措施。)为了
强基数：
如果λ是任何序数，κ是λ-strong意味着κ是基数并且存在从宇宙V到具有临界点κ和
Vλ⊆M
也就是说，M在初始段上与V一致。那么κ是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。
伍丁基数：
构造：
f : λ→λ
存在一个基数κ＜λ和
{f(β)|β＜κ}
和基本嵌入
j : V→M
超强基数：
构造：
当且仅当存在基本嵌入 j ：V→M从V到具有临界点κ和
V_j(κ)⊆M
类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)⊆M 。Akihiro
Kanamori已经表明，对于每个n＞0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge 基数的一致性强度。
超强基数
当且仅当存在基本嵌入 j ：V→M从V到具有临界点κ和
V_j(κ)⊆M
类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)⊆M 。Akihiro
Kanamori已经表明，对于每个n＞0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge 基数的一致性强度。
强紧致基数
当且仅当每个κ-完全滤波器都可以扩展为κ-完全超滤器时，基数κ是强紧凑的。
强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数κ的逻辑是通过要求每个运算符的操作数数量小于κ来定义的；那么κ是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于κ的某个子集合中得出。
强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与ZFC一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。
强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。
可扩展性是强紧凑性的二阶类比。
超紧致基数
如果M⊆M，则称κ为λ超紧基数；如果对任意为λ≥κ，κ为λ超紧基数，则称k为超紧基数。
若κ是超紧基数，则存在κ个小于k的超强基数。
假设N是一个ZFC的模型, δ是一个超紧基数, 如果对任意λ＞δ, 存在Pδ (λ) 一个δ-完全的正则精良超滤U满足
伊卡诺斯基数：存在一个L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)。
公理I3~I0
：I3： 存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入。
I2：V存在一个非平凡基本嵌入到包含Vλ的传递类M，λ为临界点上方的第一个不动点。
I1：Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入。
I0：存在 L(Vλ+1 ) 的非平凡基本嵌入，其临界点＜λ公理。
莱因哈特基数
莱因哈特基数是非平凡基本嵌入的临界点
j : V→V的V进入自身。
这个定义明确地引用了适当的类j.在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在 Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j ：V→V.
还有其他已知不一致的莱因哈特基数公式。一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定伯克利基数
伯克利基数
伯克利基数基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数κ，具有以下性质：
对于包含κ和α＜κ的每个传递集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中α＜临界点＜κ. Berkeley 基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。
作为伯克利基数的弱化是，对于Vκ上的每个二元关系R，都有（Vκ，R)的非平凡基本嵌入到自身中。这意味着我们有基本的
j 1，j 2，j 3....j 1 : (Vκ，∈)→(Vκ,∈), j 2 :（Vκ，∈,j 1 )→(Vκ,∈，j 1 )，j 3 :(Vκ,∈，j 1 ,j 2 )→(Vκ，∈,j 1 ,j 2 )等等。这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。
对于每个序数λ，存在一个ZF + Berkeley 基数的传递模型，该模型在λ序列下是封闭的。义的类。
『冯·诺依曼宇宙』
V₀=∅
V＿α+1=P(V＿α)
若λ为极限序数，
则V_λ=∪_k＜λ V_k，
V=∪_k V_k，
k跑遍所有序数
令ord为所有序数的类
则V=∪_k∈ord V_k
小超越基数： 第ω个大基数, 假设每套大基数都需要一套公理来证明的话, 小超越基数需要ω套公理,
中超越基数：:将第n个大基数记为T[n], 则中超越基数是满足 T[α]=α的最小值.
大超越基数：将T记号像φ函数, ψ函数, 甚至Stegert/Rathgen的Psi函数一样扩展, 甚至再带上TON...... 如果说小超越基数相当于ω, 中超越基数相当于φ(1,0), 则大超越基数相当于ω1CK
极超越基数：将"小超越基数相当于ω, 中超越基数相当于φ(1,0), 则大超越基数相当于ω1CK看作是"映射", 则将大超越基数映射一次, 就是Ω 也就是第一不可序列数
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可构造宇宙V=L：
定义Def()为一个包含所有X子集的集合。一个X的子集x位于Def(X)当且仅当存在一个一阶逻辑公式φ和u₀,u₁,u₂,……∈X使得
x = {y∈X :φˣ[y,u₀,u₁,u₂,……]
然后：
L₀=∅
L₁=Def(L1)={∅}=1
Ln+1=Def(Ln)=n
Lω=∪＿k＜ω Lω
Lλ=∪＿k＜λ λ is a limit ordinal
ג是极限序数
L=∪＿k Lk，k跑遍所有序数
遗传序数可定义宇宙HODs：
HOD⁰=V
HODⁿ⁺¹=HODᴴᴼᴰ^ⁿ
HOD^ω=∩＿n＜ω HODⁿ
H⁰=V
H^α+1=HODᴴ^ᵃ
HOD^η=∩α＜η HOD^α
对所有HODs的脱殊扩张
gHOD=∩HOD^V[G]
或许还有：
序数宇宙V=ON
良序宇宙V=WO
良基宇宙V=WF
于是可能：
V=L=ON=WO=WF=HOD=Ord=终极L=…………
脱殊扩张V(V[G])：
脱殊扩张说的是包含V可定义的偏序集P，P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G，然后通过把G加到V中来产生一个新的结构，V的脱殊扩张V[G]作为一个ZFC的模型。
P-name宇宙V
令P为一个拥有
ank ( P ) = r＞ω假设P-names 通过一个flat pairing function 来构造。那么对于任意的V上的G⊆P-generic 以及对于任意的a≥r×w有V[G]ₐ=Vₐ[G]
令f为一个固定的的flatpairing function ;再递归地构造一个宇宙：
V₀ᴾ=∅
Vλᴾ=∪＿α＜ג Vαᴾ
Vα+1ᴾ=P(Vαᴾ×P)
Vᴾ=∪＿α∈Ord Vαᴾ
宇宙V=终极L：
V=终极L的前置条件：
一个内模型是终极-L至少要见证一个超紧致基数。
一个内模型是终极-L也可以至少见证超幂公理UA+地面公理GA+存在一个最小强紧致基数成立。
一个内模型是终极-L必须是基于策略分支假设SBH。
V=终极-L是一个多元一阶算术集合论。
存在V=终极-L的有限公理化。
存在真类多的Eη基数并且每一个Eη基数都是超紧致基数的极限。
对于每一个超紧致基数的极限基数 λ , ADλ 成立。
伊卡洛斯基数之下的每一个 ≥I0 基数的真类初等嵌入具有三歧性。
如果V[G]是V的脱殊集合扩张并且V在V[G]的 ω− 序列下不封闭那么V[G]≠终极-L并且V[G]中普遍分区公理不成立。
见证普遍分区公理成立。
见证强普遍分区公理成立。
终极L是一个典范内模型，并见证地面公理Ground Axiom成立。
V=终极L的直接推论：
见证最大基数伊卡洛斯的存在性。
见证真类多的武丁基数
终极L是最大的内模型。
见证能够和选择公理兼容的最大的类- ADR 公理，并且θ是正则的。
拥有最大的证明论序数。（即使序数分析目前远未到ZFC的水平）
见证能够和选择公理兼容的最强的实数正则性质断言
见证 Ω 猜想成立
见证每一个集合都是遗传序数可定义的，HOD猜想成立。
见证ZF+Reinhardt不一致。
存在非平凡初等嵌入 j:Lλ(H(λ+))→Lλ(H(λ+)) .
V是最小的脱殊复宇宙。
见证广义连续统假设成立，并且 ω₁ 上有一个均匀预饱和理想。
见证正常力迫公理成立。
存在包含武丁基数的真类。进一步地，对于每一个rank-existential 语句φ若φ在V中成立那么存在一个universally Baire 集AR使得有
HODᴸᴸ⁽ᴬ‘ᴿ⁾∩V＿Θ⊨φ
其中Θ=Θᴸ⁽ᴬ‘ᴿ⁾(A, R) . (V=终极L)
绝对无穷Ω：
理想的绝对无穷可以看作宇宙V的基数
在新基础集合论Nf中对绝对无穷，施加幂集反而会让他从绝对无穷中跌落
不要与序数中的第一不可序列数搞混
关于绝对无限有两个的性质：
反射原理：Ω的所有性质必与其它超限数所共享。即Ω把它自己的性质向下反射到超限数上。
假设Ω具有独特的性质p，而其它无限集都不具有这个性质。则我们可用性质p对Ω做唯一地描述，这样一来，Ω就不是绝对的和不可定义的了。因此对Ω具有的任一性质至少有一个别的超限数也具有；进一步推理Ω的任一性质必为无限多个超限数共享，否则仍可将Ω定义为拥有这一性质的最大无限。所以假设不成立。
不可达性：Ω不能被小于它的数构造出来。即Ω是不能从下面达到的。
推理过程与上面类似。假设Ω能被某个小于它的超限数构造出来，我们便可凭此构造对Ω作出定义。这破坏了Ω的不可定义性，所以Ω不可被小于它的数构造出来。因此我们说Ω是不能从下面达到的，或说它是不可达的。
复宇宙：假没M是一个由ZFC模型组成的非空类：我们说M是一个复宇宙，当且仅当它满足：
⑴可数化公理
⑵伪良基公理
⑶可实现公理
⑷力迫扩张公理
⑸嵌入回溯公理
对于任意集合论宇宙V若W为集合论的一个模型，同时在V中作为诠释或者说是可定义的，那么W可同样作为一个集合论宇宙。
对于任意集合论宇宙V那么任意位于V内的力迫P,存在一个力迫扩张V[G]其中G⊆P为V-generico
对于每一个集合论宇宙存在一个更高的宇宙W且存在一个序数θ满足V≾Wθ≺W
对于每一个集合论宇宙V,从另一个更好的集合论宇宙W的角度来说是可列的。
从另一个更好的集合论宇宙的角度来看，每一个集合论宇宙V都是ill-founded的
简单说，存在一个集合论宇宙V，并且对任意集合论宇宙M，存在一个集合论宇宙W以及W中的一个ZFC模型w，使的在W看来，M是一个由可数的非良基ZFC模型，那V便是复宇宙。在复宇宙中，没有哪个集合论宇宙是特别的，任何集合论宇宙都存在着更好的宇宙能看到前者的局限性。
脱殊复宇宙：令M为ZFC的可数传递模型，则由M生成的脱殊复宇宙Vᴍ为满是以下条件的最小模型类：
⒈M∈Vᴍ。⒉如果N∈Vᴍ，而N’=N[G]是N的脱殊扩张，则N’∈Vᴍ。⒊如果N∈Vᴍ，而N=N’[G]是N’的脱殊扩张，则N’∈Vᴍ。简单说，Vᴍ是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。
如果集合论多宇宙是由集合论的每个宇宙，在脱殊扩张以及脱殊refinements (给定的集合论宇宙是脱殊扩张的一个集合论宇宙的内模型)下封闭而产生的，那么它就是脱殊复宇宙。也就是说，脱殊复宇宙拥有所有的脱殊扩张形式的冯·诺依曼宇宙。
复复宇宙：存在一个复宇宙.并且对任意复宇宙M,存在一个复宇宙N以及N中的一个ZFC模型N,使得在N看来，M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙。
就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙于是我们可以继续，得到复复复宇宙等……
逻辑多元：V-逻辑(V-logic)
V-逻辑具有以下的常元符号：
a¯ 表示V的每一个集合a
V¯ 表示宇宙全体集合容器V
在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则：
∀b,b∈a,ψ(b¯)⊢∀x∈a¯,ψ(x)
∀a,b∈V,ψ(a¯)⊢∀x∈V¯,ψ(x)
作为宽度完成主义者，我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。考虑V-逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号 a
¯ 和表示V本身的常元符号 V¯ ，而且还有一个常元符号 W¯ 来表示V的 "外模型
我们增加以下新公理。
1. 宇宙V是ZFC（或至少是KP，可接受性理论）的一个模型。
2. W¯ 是ZFC的一个传递模型，包含 V¯ 作为子集，并且与V有相同的序数。
因此，现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时，我们会得到一个模拟ZFC（或至少是KP）的宇宙，其中 V¯ 被正确地解释为V， W¯ 被解释为V的外模型。请注意，V-逻辑中的这一理论是在没有“加厚”V的情况下提出的，实际上它是在 V+=Lα(V) 内定义的。由于我们采用了高度（而不是宽度）潜在主义，后者又是有意义的。
最终我们可以用V-逻辑将IMH转写为以下形式：假设P是一个一阶句子，上述理论连同公理“ W¯ 满足P”在V-逻辑中是一致的。那么P在V的一个内模型中成立。
最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”（即“外模型”），而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性，并在 V+ 中定义使得满足宽度潜在主义。在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。通过V-逻辑，我们可以得到V+(V-逻辑+ZFC的模型)也就是逻辑多元
V-逻辑足够广泛，可以包含各种外部。与超宇宙的概念相反，V-逻辑不能化简为可数传递模型的集合，因为V不需要被认为是可数的。以后我们或许得到V*（任一一致的逻辑+ZFC的模型）这种东西……
附：一阶实无穷
又称作者马甲基数/伪作者基数
将目前所有的“理论”塞进一个更加强大的“集合”，然后进行二次套娃，也就是连套两次，最终会有一个无法到达的终点，这就是一阶实无穷，一般用K表示(或W)
格罗滕迪克宇宙
ZFC宇宙v的子类u是格罗登迪克宇宙:
1 .如果x∈u，y∈x，则y∈u (关于∈的推移性)
2 .如果x，y∈U，则{x，y}∈U (关于配对的结构是闭合的)
3 .如果x∈U，则Pow(x )∈u (关于幂集合是闭的)
4.I∈U，f:I→U，则∪(f )∈U (关于族的合并是封闭的)
5.U∈V (V的元素)
6.ω∈U (具有无穷集)∪(f )是⋃i∈If(i )的缩写。
ω是整个自然数的集合。
如果去掉第五个条件U∈V，v本身就是格罗滕迪克宇宙。
但是，格罗滕迪克宇宙“不过大”是个迷，所以小〈smallness〉的条件有U∈V。
low〈Zhen Lin low〉把去掉最后ω∈U的东
关于北欧神话的排名：
只看埃达的话
鸽子独一档（别问为啥鸽子出现在北欧神话）
大锤和耶梦加得T0
维达、提尔、带剑弗雷、曼尼、加姆、哈提和苏尔特准T0（因为神话本身不会描写的太详细，所以他们有可能T0，但目前的描写来说算不上）
准T0里不到T0的就是T1
斯库尔、芬里尔、赫朗格尼尔这种大概算T2
剩下的基本就没法排了，表现实在太少
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