复宇宙:假没M是一个由ZFC模型组成的非空类:我们说M是一个复宇宙,当且仅当它满足:
1.可数化公理
2.伪良基公理
3.可实现公理
4.力迫扩张公理
5.嵌入回溯公理
对于任意集合论宇宙V若W为集合论的一个模型,同时在V中作为诠释或者说是可定义的,那么W可同样作为一个集合论宇宙。
对于任意集合论宇宙V那么任意位于V内的力迫P,存在一个力迫扩张V[G]其中G⊆P为V-generico
对于每一个集合论宇宙存在一个更高的宇宙W且存在一个序数θ满足V≾Wθ≺W
对于每一个集合论宇宙V,从另一个更好的集合论宇宙W的角度来说是可列的。
从另一个更好的集合论宇宙的角度来看,每一个集合论宇宙V都是ill-founded的
简单说,存在一个集合论宇宙V,并且对任意集合论宇宙M,存在一个集合论宇宙W以及W中的一个ZFC模型w,使的在W看来,M是一个由可数的非良基ZFC模型,那V便是复宇宙。
在复宇宙中,没有哪个集合论宇宙是特别的,任何集合论宇宙都存在着更好的宇宙能看到前者的局限性。
脱殊复宇宙:
令M为ZFC的可数传递模型,则由M生成的脱殊复宇宙Vᴍ为满是以下条件的最小模型类:
⒈M∈Vᴍ
⒉如果N∈Vᴍ,而N’=N[G]是N的脱殊扩张,则N’∈Vᴍ
⒊如果N∈Vᴍ,而N=N’[G]是N’的脱殊扩张,则N’∈Vᴍ
简单说,Vᴍ是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。
如果集合论多宇宙是由集合论的每个宇宙,在脱殊扩张以及脱殊refinements (给定的集合论宇宙是脱殊扩张的一个集合论宇宙的内模型)下封闭而产生的,那么它就是脱殊复宇宙。
也就是说,脱殊复宇宙拥有所有的脱殊扩张形式的冯·诺依曼宇宙。
复复宇宙:
存在一个复宇宙.并且对任意复宇宙M,存在一个复宇宙N以及N中的一个ZFC模型N,使得在N看来,M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙。
就像复宇宙公理对复宇宙的描绘,其中的集合论宇宙没有哪个是特别的,对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性,复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的,并且总存在着“更发达的”复宇宙,在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙
于是我们可以继续,得到复复复宇宙等……
接下来……
逻辑多元:
V-逻辑(V-logic)
V-逻辑具有以下的常元符号:
a¯表示V的每一个集合a
V¯表示宇宙全体集合容器V
在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则:
∀b,b∈a,ψ(b¯)⊢∀x∈a¯,ψ(x)
∀a,b∈V,ψ(a¯)⊢∀x∈V¯,ψ(x)
到了这里,由于宽度主义,不能直接谈论外模型,甚至不能谈论不属于V的集合。然而,使用V-逻辑,可以间接地谈论它们。考虑V-逻辑中的理论,不仅有表示V的元素的常元符号a
¯和表示V本身的常元符号V¯,而且还有一个常元符号W¯来表示V的"外模型
那么……
想到这儿,我们要增加以下新公理:
1. 宇宙V是ZFC(或至少是KP,可接受性理论)的一个模型。
2. W¯是ZFC的一个传递模型,包含V¯作为子集,并且与V有相同的序数。
因此,现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时,我们会得到一个模拟ZFC(或至少是KP)的宇宙,其中V¯被正确地解释为V, W¯被解释为V的外模型。请注意,V-逻辑中的这一理论是在没有“加厚”V的情况下提出的,实际上它是在V+=Lα(V) 内定义的。由于我们采用了高度(而不是宽度)潜在主义,后者又是有意义的。
最终我们可以用V-逻辑将IMH转写为以下形式:
假设P是一个一阶基句,上述理论连同公理“ W¯满足P”在V-逻辑中是一致的。那么P在V的一个内模型中成立。
最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”(即“外模型”),而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性,并在V+中定义使得满足宽度潜在主义。
在可数模型上,宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。
通过V-逻辑,我们可以得到V+(V-逻辑+ZFC的模型)也就是逻辑多元
V-逻辑足够广泛,可以包含各种外部。与超宇宙的概念相反,V-逻辑不能化简为可数传递模型的集合,因为V不需要被认为是可数的。
以后我们或许得到V*(任一一致的逻辑+ZFC的模型)这种东西……
夫……(阿列夫零个阿列夫零),ℵℵℵ……ℵ0也是第一个阿列夫不动点,在后面,还有阿列夫不动点+1,阿列夫不动点+2,阿列夫不动点+3……阿列夫不动点+ω,阿列夫不动点+ω+ω………………,但也全部小于第二个阿列夫不动点,ℵ(ℵ(ℵ(ℵ……(ℵ不动点+1))))为第二个阿列夫不动点,必须要+1,否则会卡在第一个不动点,因为阿列夫阿列夫不动点等于阿列夫不动点,也比如ω^ε0=ε0,而我们如何得到阿列夫第二个不动点呢?先得到阿列夫第一个不动点的后继基数,也就是阿列夫第一个不动点+1,然后再一直迭代阿列夫第一个不动点+1,迭代阿列夫零层,就可以得到阿列夫第二个不动点,也就是ℵ(ℵ(ℵ……(ℵ第一个不动点+1))),阿列夫第三个不动点也是一样的规则,先找到阿列夫第二个不动点的后继基数,为阿列夫第二个不动点+1,然后不断迭代阿列夫第二个不动点+1,迭代阿列夫零层,得到阿列夫第三个不动点,第三个阿列夫不动点就是ℵ(ℵ(ℵ……(阿列夫第二个不动点+1))),第四个阿列夫不动点为ℵ(ℵ(ℵ(ℵ……(阿列夫第三个不动点+1))))…………后面以此类推,我们还可以得到第五个阿列夫不动点,第六个阿列夫不动点,第七个阿列夫不动点,第八个阿列夫不动点,第九个阿列夫不动点,第一百个阿列夫不动点,第一千个阿列夫不动点,第一万个阿列夫不动点,第一亿个阿列夫不动点,第一兆个阿列夫不动点,第一京个阿列夫不动点,第一垓个阿列夫不动点,第一秭个阿列夫不动点,第一壤个阿列夫不动点,第一沟个阿列夫不动点,第一涧个阿列夫不动点,第一正个阿列夫不动点,第一载个阿列夫不动点,第一极个阿列夫不动点,第恒河沙个阿列夫不动点,第阿僧祇个阿列夫不动点,第那由他个阿列夫不动点,第不可思议个阿列夫不动点,第无量个阿列夫不动点,第大数个阿列夫不动点,第全仕祥个阿列夫不动点,第古戈尔个阿列夫不动点,第葛立恒数个阿列夫不动点,第TREE(3)个阿列夫不动点,第SCG3个阿列夫不动点,第SSCG3个阿列夫不动点,第Rayo's number个阿列夫不动点,第Fish number7个阿列夫不动点,第Big FOOT个阿列夫不动点,第Little Bigeddon个阿列夫不动点,第Sasquatch个阿列夫不动点,第ω个阿列夫不动点,第ω↑↑2个阿列夫不动点,第ε0个阿列夫不动点,第εε0个阿列夫不动点,第ζ0个阿列夫不动点,第ζω个阿列夫不动点,第ζζω个阿列夫不动点,第η0个阿列夫不动点,第ηω个阿列夫不动点,第Γ0个阿列夫不动点,第Γω个阿列夫不动点,第ΓΓω个阿列夫不动点,第ℵ1个阿列夫不动点,第ℵ2个阿列夫不动点,第ℵω个阿列夫不动点,第ℵℵ1个阿列夫不动点,第ℵℵ2个阿列夫不动点,第ℵℵω个阿列夫不动点,第ℵℵℵ1个阿列夫不动点,第ℵℵℵω个阿列夫不动点,第阿列夫不动点个阿列夫不动点,第阿列夫不动点个阿列夫不动点个阿列夫不动点,第阿列夫不动点个阿列夫不动点个阿列夫不动点……个阿列夫不动点,……阿列夫不动点不断堆叠,得到阿列夫不动点极限,而在阿列夫不动点极限后,在后面还存在对阶封闭基数、对阶封闭基数不动点、对阶封闭基数不动点极限、对阶封闭基数马洛点、对阶封闭基数马洛点极限、∑基数、∑基数不动点、∑基数不动点极限、∑基数马洛点、∑基数马洛点极限、n_可扩基数、n_可扩基数不动点、n_可扩基数不动点极限、n_可扩基数马洛点、n_可扩基数马洛点极限、∑n_可扩基数、∑n_可扩基数不动点、∑n_可扩基数不动点极限、∑n_可扩基数马洛点、∑n_可扩基数马洛点极限、n_世界基数、n_世界基数不动点、n_世界基数不动点极限、n_世界基数马洛点、n_世界基数马洛点极限、n_交互可扩基数、n_交互可扩基数不动点、n_交互可扩基数不动点极限、n_交互可扩基数马洛点、n_交互可扩基数马洛点极限、∑n_交互可扩基数、∑n_交互可扩基数不动点、∑n_交互可扩基数不动点极限、∑n_交互可扩基数马洛点、∑n_交互可扩基数马洛点极限……而哪怕是如此,相对于下面的最小大基数,不可达基数而言,也是太过太过渺小了,沧海一粟,哪怕上面枚举无尽的延伸也根本沟通不了不可达基数,阿列夫数极限到不可达基数就如同自然数一到ℵ0一般,把阿列夫不动点的枚举看成是可数的,那么对于这一切可数的阿列夫不动点的枚举,那个不可数的东西就是不可达基数,比如对阶封闭基数,∑基数,n_可扩基数,∑n_可扩基数,n_世界基数,n_交互可扩基数,∑n_交互可扩基数……,以上都是属于阿列夫不动点后的枚举,也都小于不可达基数,不可达基数是极限基数,如果我们理解了什么是极限序数也不难理解极限基数,不可达基数非常大,大到需要直接用数学公理来宣布它的存在,就如同阿列夫零,第一个正则基数,准确来说第一个极限序数是阿列夫零这个基数所对应的序数。