ZFC公理集合论系统(ZFC Axiomatic Set Theory)
Z表示Zermelo-Fraenkel，C表示选择公理（即AC公理），F表示Fraenkel。这个体系使用了一阶逻辑来描述集合论中的对象和它们之间的关系。它包括无限公理、空集公理、外延公理、对并集公理、幂集公理、正则公理等多个公理，以确保集合论中的命题能够推导出来。
ZFC系统中有下列10条非逻辑的集合论公理:即外延公理、对偶公理、空集公理、子集公理、并集公理、幂集公理、无穷性公理、选择公理、替换公理和正则公理.
百度百科解释：应当指出，这些公理并不是全都彼此独立的，并且有些公理是公理模式，因而是无穷多条公理.其中替换公理是由弗伦克尔和斯科朗提出来的，而正则公理是由美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼(von Neumann,J. ) 提出的，其作用是在系统中排除那些不正常的集，如本身分子集等，由此而有效地避免了悖论在ZFC系统中的出现.ZFC公理集合论系统与其他公理集合论系统相比较，显得较为自然、直观和使用方便，因而被普遍采用为经典数学的理论基础.ZFC系统中已经有效地排除了已被发现的悖论的出现，并且迄今未发现有新的悖论出现，但也没有从理论上直接证明永远不可能出现悖论.
ZFC代表Zermelo-Fraenkel集合论，是一种公理化集合论的基础。它由Ernst Zermelo和Abraham Fraenkel在20世纪初提出，旨在通过一组公理来确立数学中集合的基本概念和性质。
ZFC公理系统包括九条公理，它们定义了集合、子集、无穷、选择公理等概念，并规定了集合运算的规则。这些公理形成了一种系统，使得可以进行严谨的集合论证明。
ZFC集合论是现代数学的基础之一，被广泛应用于数学的各个领域，如数学分析、代数学、拓扑学等。它不仅为数学提供了一个统一的框架，而且也为计算机科学和理论物理学等其他学科提供了基础。
但其中一些基数拒绝做以下任何努力:表明它们必须是相同的，表明它们必须是不同的，表明这些问题独立于ZFC，等等。事实上，人们对许多基数一无所知。
ZFC公理系统具体详情况请经过系统性质学习，但在高中以上的学习素养或完全未触及相关知识的人之前，不要贪得无厌
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基数亦称势。公理集合论的基本概念之一。是度量集合大小的量。在德国数学家康托尔(Cantor，G.(F.P.))之前，无穷只是一个很模糊的概念，人们无法区分两个无穷集的大小。1873年，康托尔发现自然数集与实数集之间不存在一一对应的关系，由此意识到可以用一一对应作为度量无穷集合大小的尺度。他把集合的大小称为集合的势，记为x'，x为一集合。并且他定义，若集合A与集合B之间可建立一一对应关系，则称A与B等势，记为A≈B。然而康托尔对势没有作非常严格的定义，而将集合的势定义为从集合中抽去元素特性及顺序特性得出的一般概念.德国数学家、数理逻辑学家弗雷格(Frege，(F.L.)G.)与英国数理逻辑学家罗素(Russell，B.A.W.)将集合的基数(势)定义为在等势关系下该集合所在的等价类.这一定义虽然比较严格，但这样定义的基数不是ZF公理集合论中集合的基数.在ZF公理集合论中，按如下方法定义集合x的基数|x|：
1.若x是可良序化的，则定义|x|为最小的与x等势的序数。
2.若不然，则定义|x|为与x等势的真类中所有具有最小秩的元素的全体所组成的集合。
如果某个集合的基数是a，则如此定义的基数满足|x|=|y|，当且仅当x≈y.定义1是由美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼(von Neumann，J.)于1928年引入的；定义2则是上述弗雷格与罗素思想的翻版。如果存在从集合x到y的单射，则定义|x|≤|y|。如果|x|≤|y|且|y|≤|x|，则|x|=|y|。这就是著名的康托尔-伯恩施坦定理。对于任意的集合x和y，有|x|≤|y|或者|y|≤|x|，当且仅当选择公理成立。可良序化的集合的基数称为良序基数。每一个良序基数都是序数。因此，若设定某一选择公理，则每一个基数都是序数。对任意的序数α，存在大于α的最小良序基数，记为α。由此可见，所有的良序基数构成序数全域的一个无界的子类，即为真类。因此，可以定义一个从序数全域到所有无穷良序基数构成的真类上的保序映射，使得ᗄα＜β((α)＜(β))，式中读做“阿列夫”。还常用α代替(α)，表示第α个无穷良序基数，用ωα表示Nα的序型，故N0=ω0=ω，Nα+1=ωα+1=Nα。若α为极限序数，则Nα=ωα=sup{ωρ|ρ∈α}。Nα是极限基数，当且仅当α是极限序数。
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