集合论，集合，实数（可数性和不可数性）

集合论

《斯坦福哲学百科全书》将集合论描述为“现代数学最伟大的成就之一”，集合论被广泛认为是由康托尔在1873-1884年间所做的研究所建立的。特别地，集合论的起源可以追溯到康托尔于1874年发表的一篇论文，题为《关于所有实数集合的性质》。它提出的最基本和最重要的结果是实数的不可数性。

在短短的五页里，康托的论文提出了三个重要的结果：

实代数数的集合是可数的；

在每一个区间[a,b]中都有无穷多个不包含在任何数列中的数，结果就是

实数的集合是无穷无尽的。

什么是集合？集合是元素的集合。由3、4、5组成的集合用{3、4、5}表示。

可数性

可数集合是指具有与自然数集合的某个子集相同基数的集合。

可数性是集合论中的一个重要性质。可数性的直观解释是“列表性”，即集合的元素可以写在一个列表中。最固有的可数集合是自然数集，因为的元素是计数数本身。我们知道，它们在数量上是无限的，所以称为可数无限。对于其他集合，形式上，声明一个集合是可数的，意味着集合的元素可以与自然数集合的元素一一对应

如果存在从S到自然数={1,2,3，…}的内射函数f，则集合S是可数的。如果能找到这样一个f也是满射，则S被称为可数无限集，或可数集。

例如偶数集合(2n|n∈)：

我们看到两个集合的元素可以一一对应，因此我们可以确定偶数集合也是可数的。

可数性使我们可以根据集合所包含的元素的数量来进行比较，而不需要实际计算任何东西，并通过这种方式来推断有限集和无限集的相对大小。从实际考虑，让我们想象一个有100个座位的教室来说明这个有限的情况。如果教室里挤满了学生，我们就可以推断出学生的数量与座位数量的关系。如果座位是空的，座位集要比学生集大。如果没有空座，有的学生还站着，则学生的集大小要大于座位集的大小。

有理数的可数性（1873）

康托尔首次发表关于集合可数性的研究是在1873年，当时他证明了有理数是可数的。他的证明相当优雅和直观：

让我们首先提出，这组有理数是可数的。为了证明这个命题，让我们把所有有理数排列在一个无限表中

然后，从左上角开始，从左到右45度移动对角线，从1/1开始，然后是1/2和2/1，然后是3/1，2/2和1/3，以此类推。写下遇到的每一个新数。它不仅是有序的，而且与自然数的自然顺序一一对应。这证明了有理数的可数性。

实代数数的可数性（1874）一年后，在他1884年的论文中，康托尔证明了实代数数是可数的。实数代数数是实数ω，满足如下公式，a ω + aω + … + a= 0。也就是说，实代数数是非零实多项式的根。它们是可数的，即：

所有代数实数的集合可以写成一个无穷数列。

康托尔在他1874年的论文中证明了这一点：

实代数数可数性的证明（1874）

对于每一个多项式方程的形式

系数为a的整数，定义它的指数为系数的绝对值加上方程的次数之和：

指数2的唯一方程是ω = 0，所以它的解0是第一个代数数。指数3的四个方程是2x = 0，x + 1 = 0， x - 1 = 0, x2 = 0。它们的根是0、-1、1，所以他把新值-1和1作为他的代数数列表中的第二项和第三项。

注意，对于每个指数，只有有限的方程，每个方程也只有有限的根。根据指数的顺序和在每个指数内增加数量级来列出新根，这样就建立了列出所有代数数的系统方法。和有理数一样，与自然数的一一对应证明了代数数的集合必须是具有可数性的无穷。

实数的不可数性

康托将可数性作为一个概念的最富有成效的运用出现在他1874年论文的第三个结果中，他证明了实数的不可数性。实数是一个连续的值，可以表示一条直线上的距离。任何实数都可以用无限小数表示出来，例如8.632、0.00001、10.1等等，其中每个连续数字都以前一个数字的十分之一为单位来计算。实数不可数的表述等价于：

给定任意实数序列和任意区间[α ... β]，可以在[α ... β]中确定一个数η，η不属于给定的实数序列，因此，我们可以在[α ... β]中确定无穷多个这样的数η数。

他最初的证明（康托的第一个不可数性证明）是这样的，基于博尔扎诺-韦斯特拉斯定理：

实数不可数性的证明：

假设我们有一个无穷实数数列，

这个数列是随机生成，而且数字之间互不相同。那么，在任意给定区间(α ... β)内，可以确定一个数η，使其不出现在数列(i)中，这样的η是无穷多的。

序列(i)的前两个数位于这个区间的内部（边界除外），可指定为α'， β'，让α' < β'。让我们指定数列(α' ... β')的前两个数α"， β"并且α" < β"。同样地，构造下一个区间，以此类推。

因此，根据定义，α', α" ...是序列(i)的确定数，其指数是递增的。序列β'， β"， ...也是如此。此外，数列α'， α"…总是增加的，而数列β'， β"，…总在减小。

在第一种情况下，这样形成的间隔的数目是有限的。在这种情况下，让最后一个是（α…β）。因为它的内部最多可以是序列(i)中的一个数，所以可以从这个区间中选择一个不包含在(i)中的数η，从而证明了定理。

在第二种情况下，构造区间的数目是无限的。那么，因为它们总是在不断地增大，而不是无限地增大，所以这些数α， α'， α'，…有一个确定的边界值α。同样适用于数字β， β'， β"，…因为它们总是在变小。设其边值为β。如果α= β，η = α= β不能包含在我们的序列(i)中。然而，如果α< β，然后区间[α ... β]内的所有η值以及它的边界满足它不包含在序列(i)中的要求。