初中数学学习资料
专题 二元一次方程组及其应用
专题知识点概述
1. 二元一次方程
含有两个未知数，并且未知数的指数都是 1 的方程整式方程叫做二元一次方程.一般形式是
ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2. 二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。
3. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
4. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
5.解二元一次方程组的方法
4. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
5.解二元一次方程组的方法
将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
1) 代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一
个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
2) 加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的
两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简3) 称加减法。
6.列方程（组）解应用题的一般步骤
1) 审：有什么，求什么，干什么；
2) 设：设未知数，并注意单位；
3) 找：等量关系；
4) 列：用数学语言表达出来；
5) 解：解方程(组)．
6) 验：检验方程(组)的解是否符合实际题意．
7) 答：完整写出答案包括单位。
注意：找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所 列方程必须满足：
(1)方程两边表示的是同类量；
(2)
同类量的单位要统一；
(3)方程两边的数值要相等
对点练习
1. 如果关于 x ， y 的二元一次方程的一个解为 { x = 2
y =− 1 ，那么这个方程可以是_____。
【答案】 x + y = 1 （答案不唯一）
【解析】本题主要考查二元一次方程组的基本概念。
根据题意，两式相减可得 x + y = 1 ,
所以这个方程可以是 x + y = 1 。
故本题正确答案为 x + y = 1 （答案不唯一）。
2. 方程 (m − 2016)x∣m∣−2015 + (n + 4)y∣n∣−3 = 2018 是关于 x ， y 的二元一次方程，则（ ）。
A. m =± 2016 ； n =± 4
B. m = 2016 ； n = 4
C. m =− 2016 ； n =− 4
D. m =− 2016 ； n = 4
3. 解方程组：
（1） {3m－2n=5
{4m + 2n = 9
（2） {
3x + 4y = 11
5x − y = 3
【答案】（1） {3m－2n=5
4m + 2n = 9②
，
① + ②得 7m = 14 ，
解得 m = 2 ，
代入①得 3 × 2 − 2n = 5 ，
解得 n = 1
2 ，
所以原方程的解为 。
（2） {3x+4y=11
5x − y = 3②
，
② 得 20x − 4y = 12③ ，
① + ③得 23x = 23 ，
解得 x = 1 ，
代入②得 5 − y = 3 ，
解得 y = 2 ，
所以原方程的解为 {x = 1
y = 2
【解析】本题主要考查向一元一次方程转化——用消元法解二元一次方程组。
（1）① + ②可将 n 消去，然后解得 m 的值，再将 m 的值代入原方程即可求得 n 的值。
（2）① + ② 可消去 y ，得到关于 x 的方程，解得 x 的值，然后将 x 的值代入原方程
即可求得 y 的值。
4. 阅读以下内容：
4. 阅读以下内容：
已知有理数 m ， n 满足 m + n = 3 ，且 { 3m + 2n = 7k − 4
2m + 3n =− 2 ，求 k 的值。
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于 m ， n 的方程组 { 3m + 2n = 7k − 4
2m + 3n =− 2 ，再求 k 的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求 k 的值；
丙同学：先解方程组 { m + n = 3
2m + 3n =− 2 ，再求 k 的值。
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题。
（2）在解关于 x ， y 的方程组 {
(a + 1)x − by = 18①
(b + 2)x + ay = 1②
时，可以用① × 7 − ② × 3 消
去未知数 x ，也可以用① × 2 + ② × 5 消去未知数 y ，求 a 和 b 的值。
【答案】（1）选择甲：
{
3m + 2n = 7k − 4①
2m + 3n =− 2②
，
① × 3 − ② 得 5m = 21k − 8 ，
解得 m = 21k−8
② × 3 − ① 得 5n = 2 − 14k ，
解得 n = 2−14k
5 ， ......2分
代入 m + n = 3 得 21k−8
5
+
2−14k
5
= 3 。
去分母得 21k − 8 + 2 − 14k = 15 ，
移项合并得 7k = 21 ，
解得 k = 3 。
（2）根据题意得 { a + 1 = 3
b + 2 = 7 ，
解得 { a = 2
b = 5 ，
检验符合题意，
则的 a 和 b 值分别为 2 ， 5 。
【解析】本题主要考查向一元一次方程转化——用消元法解二元一次方程组 。
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